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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 24.11.2009 | | Autor: | MarRaph |
Hallo,
ich versuche folgendes Integral zu berechnen, aber komme einfach nicht darauf, wie ich vorgehen kann.
[mm] -\integral{\bruch{\wurzel{a^2 - x^2}}{x} dx}
[/mm]
Auf dem Übungsblatt steht der Tipp, dass ich mit z(x) = [mm] \wurzel{a^2 - x^2} [/mm] substituieren soll, aber das bringt mich nur auf Folgendes:
[mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{-x}{\wurzel{a^2 - x^2}}
[/mm]
Wenn ich aber nach dz umstelle, erhalte ich:
dz = [mm] dx*\bruch{-x}{\wurzel{a^2 - x^2}}
[/mm]
In meinem Integral steht aber das Reziproke des Bruchs, wie komme ich an dieser Stelle weiter? (Wahrscheinlich sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MarRaph,
stimmt schon. Das Integral ist nicht so recht gemütlich zu lösen.
Du hast gefunden [mm] \bruch{dz}{dx}=-\bruch{x}{z} [/mm] oder [mm] dx=-\bruch{z}{x}dz
[/mm]
Es folgt [mm] -\int{\bruch{\wurzel{a^2-x^2}}{x}\ dx}=(+)\int{\bruch{z}{x}*\bruch{z}{x}\ dz}=\int{\bruch{z^2}{a^2-z^2}\ dz}=\int{\bruch{a^2}{a^2-z^2}-1\ dz}=\blue{a^2\int{\bruch{1}{a^2-z^2}\ dz}-\int{1\ dz}}
[/mm]
unter Anwendung von [mm]x^2=a^2-z^2[/mm].
Die blaue Zerlegung ist nun nicht mehr so schwierig. Ich kann mir allerdings selbst nie so richtig merken, welche Stammfunktion zu diesen allgemeinverdächtigen Brüchen gehört und schlage sicherheitshalber nach. ![[]](/images/popup.gif) Hier finde ich einen Hinweis auf den artanh. Wolfram verrät mir auch, wie ich mit dem a umgehe. Natürlich hätte man auch einfach nochmal substituieren können, [mm]u=\tfrac{z}{a}[/mm].
Soweit klar?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | MarRaph |
Vielen Dank für diese ausführliche und gute Antwort - ich wusste bislang auch nicht, dass es ein so leistungsstarkes Onlinetool wie Wolfram gibt.
Gruß,
MarRaph
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