Integrationstrick mit Paramete < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen und begründen Sie
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{2n} e^{-x^2} dx}
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN [/mm] . Dabei dürfen sie [mm] \integral_{0}^{\infty}{ e^{-x^2} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{pi} [/mm] / 2 verwenden. Benutzen Sie
[mm] x^{2n} e^{-x^2} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (\bruch{d^n}{dp^n}) [/mm] (eingeschränkt auf p = 1) * [mm] e^{-px^2} [/mm] |
Huhu zusammen,
Ich wollte eigentlich 2n mal partiell ableiten, aber ich denke ich muss diesen "trick" anwenden, allerdings verstehe ich diese Umformung
[mm] x^{2n} e^{-x^2} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (\bruch{d^n}{dp^n}) [/mm] (eingeschränkt auf p = 1) * [mm] e^{-px^2}
[/mm]
nicht :( Soll das die n-te Ableitung von p sein vom Term [mm] e^{-px^2} [/mm] ? Und das mit der EInschränkung auf p = 1 versteh ich auch nicht, wieso setzt man dann nicht direkt p = 1 :(
Wäre sehr dankbar für Hilfe !
Liebe Grüße
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du leitest die Funktion [mm] e^{-p*x^2} [/mm] zuerst n-mal nach p ab und setzt dann p=1. Würde von vorneherein p=1 gelten, wäre die Ableitung der Funktion [mm] e^{-p*x^2}=e^{-x^2} [/mm] gleich 0, da es keine Abhängigkeit von p mehr gibt.
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Vielen Dank für die Erklärung, also mein Versuch:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{2n} e^{-x^2} dx}
[/mm]
n. Vor. =
[mm] \integral_{0}^{\infty}{(-1)^n ( \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-px^2} dx} [/mm] eingeschränkt auf p = 1
= [mm] (-1)^n [/mm] ( [mm] \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-p} [/mm] (p eingschr. auf 1) * [mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-x^2} [/mm] dx
n. Recht darf ich benutzen, dass das gleich
[mm] =(-1)^n [/mm] ( [mm] \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-p} [/mm] (p eingschr. auf 1) * [mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2}
[/mm]
Ab jetzt bin ich mir unsicher. ich denke, das ist gleich
[mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (-1)^n e^{-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2e}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuchs mal so
Sei [mm] I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p*x^2} dx}
[/mm]
Berechne [mm] \bruch{d^n}{dp^n}I(p)=(-1)^n\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-px^2} dx} [/mm] an der Stelle p=1
Aus dem gegebenen Tipp folgt [mm] I(p)=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}}
[/mm]
Nun [mm] \bruch{d^n}{dp^n}I(p) [/mm] ausrechnen und an der Stelle p=1 auswerten.
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> Hi,
>
> versuchs mal so
>
> Sei [mm]I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p*x^2} dx}[/mm]
>
> Berechne
> [mm]\bruch{d^n}{dp^n}I(p)=(-1)^n\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-px^2} dx}[/mm]
> an der Stelle p=1
>
> Aus dem gegebenen Tipp folgt
> [mm]I(p)=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}}[/mm]
>
> Nun [mm]\bruch{d^n}{dp^n}I(p)[/mm] ausrechnen und an der Stelle p=1
> auswerten.
Ist mein Ansatz also falsch gewesen? wieos darf ich nicht alles was mit p zu tun hat einfach vors Integral ziehen? Und wo der Ausdruck [mm] \wurzel{1/p} [/mm] herkommt versteh ich nicht soo ganz und auch nicht wohin die [mm] (-1)^n [/mm] bei dir hingehen :O
Die n-te Ableitung von [mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{p}} [/mm] nach p müsste dann sowas wie
[mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] * [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{p}} [/mm] sein und mit p = 1
[mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] * [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Vielen Dank für die Erklärung, also mein Versuch:
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> $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{2n} e^{-x^2} dx} [/mm] $
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> n. Vor. =
>
> $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{(-1)^n ( \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-px^2} dx} [/mm] $ eingeschränkt auf p = 1
>
> = $ [mm] (-1)^n [/mm] $ ( $ [mm] \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-p} [/mm] $ (p eingschr. auf 1) * $ [mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-x^2} [/mm] $ dx
Das ist falsch.
[mm] e^{-p}*e^{-x^2}=e^{-p-x^2} [/mm] und nicht [mm] e^{-p*x^2}
[/mm]
Mit [mm] I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p\cdot{}x^2} dx} [/mm] folgt
[mm] (-1)^n\bruch{d^n}{dp^n}I(p)=\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-px^2} dx} [/mm] und deshalb
[mm] (-1)^n\bruch{d^n}{dp^n}I(p) \bigg|_{p = 1}=\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^2} dx}
[/mm]
Wende auf [mm] I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p\cdot{}x^2} dx} [/mm] die Substitution [mm] u=\wurzel{p}*x [/mm] an.
Dann gilt [mm] I(p)=\bruch{1}{\wurzel{p}}\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2} du}=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}}
[/mm]
Und jetzt [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}} [/mm] n-mal nach p Ableiten und den entstehenden Ausdruck an der Stelle p=1 auswerten.
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> Hi,
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> > Vielen Dank für die Erklärung, also mein Versuch:
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> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{2n} e^{-x^2} dx}[/mm]
> >
> > n. Vor. =
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{(-1)^n ( \bruch{d^n}{dp^n}) e^{-px^2} dx}[/mm]
> eingeschränkt auf p = 1
> >
> > = [mm](-1)^n[/mm] ( [mm]\bruch{d^n}{dp^n}) e^{-p}[/mm] (p eingschr. auf 1) *
> [mm]\integral_{0}^{\infty} e^{-x^2}[/mm] dx
>
> Das ist falsch.
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> [mm]e^{-p}*e^{-x^2}=e^{-p-x^2}[/mm] und nicht [mm]e^{-p*x^2}[/mm]
>
>
>
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> Mit [mm]I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p\cdot{}x^2} dx}[/mm] folgt
>
> [mm](-1)^n\bruch{d^n}{dp^n}I(p)=\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-px^2} dx}[/mm]
> und deshalb
>
> [mm](-1)^n\bruch{d^n}{dp^n}I(p) \bigg|_{p = 1}=\integral_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> Wende auf [mm]I(p)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-p\cdot{}x^2} dx}[/mm]
> die Substitution [mm]u=\wurzel{p}*x[/mm] an.
>
> Dann gilt
> [mm]I(p)=\bruch{1}{\wurzel{p}}\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2} du}=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}}[/mm]
>
> Und jetzt [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}}[/mm] n-mal nach p
> Ableiten und den entstehenden Ausdruck an der Stelle p=1
> auswerten.
Vielen lieben Dank für die Erklärung!
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{p}} [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}/2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{p}}
[/mm]
die n-te Ableitung von [mm] \bruch{1}{\wurzel{p}} [/mm] ist gar nicht mal so leicht.
ich denke es müsste so aussehen:
[mm] (-1)^n [/mm] * [mm] p^{-\bruch{1}{2} - \bruch{2n}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (2i -1)
und für p=1 dann [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (2i -1) * [mm] \bruch{1}{2^n}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die n-te Ableitung von [mm] p^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ist
[mm] (-1)^n*\bruch{1}{2}*\bruch{3}{2}* [/mm] ... [mm] \cdot \bruch{2*n-1}{2}=\bruch{\produkt_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^n}
[/mm]
und vom letzten Produkt kannst Du per Induktion zeigen das gleich [mm] \bruch{(2n)!}{4^n*n!} [/mm] ist.
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> Hi,
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> die n-te Ableitung von [mm]p^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ist
>
> [mm](-1)^n*\bruch{1}{2}*\bruch{3}{2}*[/mm] ... [mm]\cdot \bruch{2*n-1}{2}=\bruch{\produkt_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^n}[/mm]
>
> und vom letzten Produkt kannst Du per Induktion zeigen das
> gleich [mm]\bruch{(2n)!}{4^n*n!}[/mm] ist.
hey auf der rechten Seite steht aber auch noch die [mm] (-1)^n [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja da hast Du recht, das hab ich vergessen.
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Ok vielen lieben Dank dass du mir dadurch geholfen hast :)
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