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| Aufgabe | Für [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] sei [mm] $(Pf)(x):=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}f(x+2\pi k),\quad x\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}=:\mathbb{T}$. [/mm] Zeigen Sie:
a) Für [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] gilt [mm] $Pf\in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] mit [mm] $\|Pf\|_1\leq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|f\|_1$.\\
[/mm]
b) Für [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] gilt [mm] $\hat{(Pf)}(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\mathcal{F}_{\mathbb{R}}f)(n),\quad n\in\mathbb{Z}$, [/mm] wobei [mm] $\hat{(Pf)}\in\ell^{\infty}(\mathbb{Z})$ [/mm] die zu $Pf$ gehörigen Fourier-Koeffizienten seien.
c) Es gilt [mm] $P\in L(\mathcal{S}(\mathbb{R}), [/mm] W)$, wobei $W$ die Wiener Algebra bezeichne.
d) Für [mm] $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ [/mm] gilt [mm] $\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\varphi(2\pi k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}(\mathcal{F}_{\mathbb{R}}\varphi)(k)$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade etwas an der Aufgabe. Was ich bis jetzt habe:
a)
Erst einmal will ich zeigen, dass unser $(Pf)(x)$ für jedes [mm] $x\in\mathbb{T}$ [/mm] wohldefiniert ist. Dafür betrachte für festes [mm] $x\in\mathbb{T}$:
[/mm]
[mm] $(Pf)(x)=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}f(x+2\pi k)\leq\int\limits_{\mathbb{R}}f(x+2\pi t)\mathrm{d}t$
[/mm]
Substituiere [mm] $y:=x+2\pi [/mm] t, [mm] \mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\mathrm{d}y$.da $f\in L^1(\mathbb{R})$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |(Pf)(x)|\leq\frac{1}{2\pi}\left| \int\limits_{\mathbb{R}}f(y)\mathrm{d}y\right|\leq \frac{1}{2\pi}\|f\|_1<\infty$, [/mm] da [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$\\
[/mm]
Damit ist $Pf$ wohldefiniert.
Betrachte nun:
[mm] $\|Pf\|_1=\int\limits_{\mathbb{R}}|(Pf)(x)|\mathrm{d}x=\int\limits_{\mathbb{T}}|\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}f(x+2\pi k)|\mathrm{d}x\leq\int\limits_{\mathbb{T}} \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}|f(x+2\pi k)|\mathrm{d}x=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(x+2\pi k)|\mathrm{d}x$
[/mm]
Substituiere [mm] $y=x+2\pi k,\quad y(-\pi)=(2k-1)\pi,\; y(\pi)=(2k+1)\pi$:
[/mm]
[mm] $\Rightarrow $\|Pf\|_1\leq \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} |f(y)|\mathrm{d}y$\\
[/mm]
Außerdem gilt [mm] $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]}=\mathbb{R}$ [/mm] und damit:
[mm] $\|Pf\|_1\leq \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} |f(y)|\mathrm{d}y=\int\limits_{\mathbb{R}}|f(y)|\mathrm{d}y<\infty$, [/mm] da [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow Pf\in L^1(\mathbb{T})$
[/mm]
Bei dem letzen Teil weiß ich nicht genau, wie ich die ungleichung Zeigen soll.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
HugATree
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 14.12.2014 | | Autor: | HugATree |
Ich glaube das Problem das ich hatte hat sich mit genauerem nachschauen unserer Definition der [mm] $L^p$ [/mm] Normen. Hier haben wir nämlich:
[mm] $\|f\|_1=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}}|f(x)|\mathrm{d}x$ [/mm] für [mm] $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ [/mm] und:
[mm] $\|f\|_1=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{T}}|f(x)|\mathrm{d}x$ [/mm] für [mm] $f\in L^1(\mathbb{T}^n)$ [/mm]
Damit ergibt sich dann mit meiner Abschätzung in meinem ersten Beitrag genau der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
[/mm]
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also (i) und (ii) habe ich nun fertig.
Jedoch komme ich bei Teilaufgabe (iii) nicht weiter.
Die Linearität ist ja klar (mit (i)), jedoch muss ich ja noch zeigen, dass für
[mm] $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ [/mm] gilt [mm] $Pf\in [/mm] W$, also [mm] $\hat{(Pf)}\in\ell^1(\mathbb{Z})$.
[/mm]
Hier fehlt mir jedoch bis jetzt noch die richtige Idee und würde mich über einen Denkanstoß freuen.
Liebe Grüße
HugATree
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 16.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Di 16.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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