Integrierbarkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 21.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
sei g eine messbare numerische Fkt
angenommen es existiert eine Fkt h mit [mm] |g|\le [/mm] h, wobei h [mm] \mu-integrierbar.
[/mm]
Warum ist dann g dann auch [mm] \mu-integrierbar?
[/mm]
Würde mich über eure Hilfe freuen.
Gruß
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Sa 23.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
das Integral ist monoton, also für g [mm] \le [/mm] h gilt:
[mm]\integral g d \mu \le \integral h d\mu[/mm]
und jetz betrachtest du einfach den positiv und den negativteil:
[mm]\integral g d\mu = \integral g^+ d\mu - \integral g^- d\mu[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 28.05.2009 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank nochmal für deine Antwort, vivo !
Das hatte ich mir auch gedacht, aber mich hat irritiert, dass bei den Voraussetzungen für diese Formel immer steht, dass f und g [mm] \mu-integrierbar [/mm] sein müssen...was ich ja eigentlich zeigen möchte.(??)
VG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Vielen Dank nochmal für deine Antwort, vivo !
> Das hatte ich mir auch gedacht, aber mich hat irritiert,
> dass bei den Voraussetzungen für diese Formel immer steht,
> dass f und g [mm]\mu-integrierbar[/mm] sein müssen...was ich ja
> eigentlich zeigen möchte.(??)
Das ist richtig, [mm] $\int_Xg\ d\mu$ [/mm] darf man erst hinschreiben, falls g integrierbar ist. Um zu zeigen, dass g integrierbar ist, musst du, da g bereits messbar ist, nur noch zeigen, dass $g_+$ und $g_-$ messbar sind (das ist sicherlich klar) und dass gilt [mm] $\int_X [/mm] g_+\ [mm] d\mu<\infty$ [/mm] und [mm] $\int_X [/mm] g_-\ [mm] d\mu<\infty$ [/mm] (das Integral messbarer, nicht-negativer Funktionen existiert immer, aber es kann auch [mm] $\infty$ [/mm] sein).
Nun gilt aber [mm] $g_+\le g_++g_-=|g|\le [/mm] h$, also [mm] $\int_X [/mm] g_+\ [mm] d\mu\le\int_X [/mm] h\ [mm] d\mu<\infty$, [/mm] denn h ist [mm] $\mu$-integrierbar, [/mm] analog für $g_-$.
Mach dir klar dass bereits [mm] $|g|\le [/mm] h$ [mm] $\mu$-fast-überall [/mm] genügt.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 31.05.2009 | | Autor: | Fry |
Danke schön ! = )
|
|
|
|
