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Integrierbarkeit von f/g: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

Hallo!

Ich möchte zeigen, dass der Quotient f/g zweier auf einem kompakten Intervall [a, b] Riemann-integrierbarer Funktionen wieder auf [a, b] Riemann-integrierbar ist. Dazu habe ich natürlich die Voraussetzung, dass [mm] g(x)\not=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]. Mit dem Lebesgue-Kriterium folgt, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen von g eine Nullmenge bildet und damit auch die Menge der Unstetigkeitsstellen von 1/g. Also ist 1/g Riemann-integrierbar und damit auch f/g. Kann mir jemand sagen ob ich das richtig habe oder ob man noch was anderes beachten muss?

VG, Christoph

        
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Integrierbarkeit von f/g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Fr 10.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vermischst du hier nicht Riemann- und Lebesgue-Integrierbarkeit?
Nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion ist auch Riemann-integrierbar!

Ganz davon ab, dass bei weitem nicht jede Funktion, wo die Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden, Riemann-Integrierbar ist.

Bspw: [mm] $1_\IQ$. [/mm]

MFG,
Gono.

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Integrierbarkeit von f/g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

Hallo Gono!

Also das Lebesgue'sche Integrabilitätskriterium sagt doch, dass eine
Funktion f: [a, b] [mm] \to [/mm] |R genau dann auf [a, b] Riemann-integrierbar ist, wenn
sie dort beschränkt und "fast überall" stetig ist. Fast überall stetig soll dabei heißen, dass die Punkte von [a, b], in denen sie unstetig ist, eine Nullmenge bilden. Demnach müsste doch 1/g Riemann-integrierbar sein, wenn das für g gilt (g(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x aus [a, b] wieder vorausgesetzt). Wo liegt denn da mein Fehler?

MfG,

Christof

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Integrierbarkeit von f/g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Fr 10.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wo liegt denn da mein Fehler?

dazu später, ich hatte aber einen.
Kannst dir ja mal überlegen, warum meine Funktion [mm] $1_\IQ$ [/mm] kein Gegenbeispiel zu dem Satz ist, es ist nämlich keins....

Aber betrachte doch mal:

$[a,b] = [0,1]$
$g(x) = [mm] \begin{cases} x, x>0 \\ 1, x=0 \end{cases}$ [/mm]

Ist offensichtlich R-Integrierbar und erfüllt deine Voraussetzungen.
Was ist mit [mm] \bruch{1}{g} [/mm] ?

Wo geht deine Argumentation dann kaputt?

MFG,
Gono.



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Integrierbarkeit von f/g: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

Hallo Gono!

Denke mir ist jetzt bewusst, dass 1/g nicht beschränkt sein muss, wenn man nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 auf [a, b] voruassetzt, da ja auch der Fall inf g([a, b]) = 0 nicht ausgeschlossen ist und dann 1/g sicher unbeschränkt ist.

VG, Christof

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Integrierbarkeit von f/g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Fr 10.08.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>
> Ich möchte zeigen, dass der Quotient f/g zweier auf einem
> kompakten Intervall [a, b] Riemann-integrierbarer
> Funktionen wieder auf [a, b] Riemann-integrierbar ist. Dazu
> habe ich natürlich die Voraussetzung, dass [mm]g(x)\not=0 \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] [a, b].

Das reicht nicht. Du benötigst: es ex. ein q>0 mit |g(x)| [mm] \ge [/mm] q für alle x [mm] \in [/mm]  [a,b].

Dann ist 1/g beschränkt.




> Mit dem Lebesgue-Kriterium folgt, dass die
> Menge der Unstetigkeitsstellen von g eine Nullmenge bildet
> und damit auch die Menge der Unstetigkeitsstellen von 1/g.
> Also ist 1/g Riemann-integrierbar und damit auch f/g. Kann
> mir jemand sagen ob ich das richtig habe oder ob man noch
> was anderes beachten muss?

Ist O.K.

FRED

>  
> VG, Christoph


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Integrierbarkeit von f/g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

ok, also ein festes q > 0 mit |g(x)| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] habe ich auch in einem buch (Heuser - Analysis 1) als Voraussetzung gesehen, in einem anderen aber wurde nur g(x) [mm] \not=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] vorausgesetzt. Jetzt frage ich mich was denn stimmt? Bin da jetzt ein bisschen verwirrt..

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Integrierbarkeit von f/g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Fr 10.08.2012
Autor: fred97


> ok, also ein festes q > 0 mit |g(x)| [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> [a, b] habe ich auch in einem buch (Heuser - Analysis 1)
> als Voraussetzung gesehen, in einem anderen aber wurde nur
> g(x) [mm]\not=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b] vorausgesetzt. Jetzt frage
> ich mich was denn stimmt?

So wie ich es Dir gesagt habe.

Ist g(x) [mm]\not=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b] , so muß 1/g auf [a, b] nicht beschränkt sein.

FRED

Bin da jetzt ein bisschen

> verwirrt..


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Integrierbarkeit von f/g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

Okay, das macht Sinn, ich denke ich verstehe es. Wenn man nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 fordert, sind Fälle eingeschlossen, in denen es zu jedem positiven y ein x aus [a, b] geben kann, so dass 1/g(x) > y wird. Das wäre z. B. der Fall, wenn
das Infimum der Funktionswerte g(x) (x aus [a, b]) gleich 0 wäre.

Also ist das, was ich z. B. in Burg, Haf, Wille - Mathematik für Ingenieure Band 1 gelesen habe (wo nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 gefordert war) schlicht falsch?

MfG und danke für den Hinweis,

Christof  

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Integrierbarkeit von f/g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 10.08.2012
Autor: leduart

Hallo
ja, wenn es da so steht! Papier ist geduldig, dehlerfreie Bücher selten.
Gruss leduart

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Integrierbarkeit von f/g: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Fr 10.08.2012
Autor: Peter_Pan2

ok, danke für die antworten, das hat mir sehr geholfen!

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