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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Di 02.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{\pi}{arcsin(sin x) dx} [/mm] |
Hallo
mache grade diese Aufgabe und hab eine kurze Frage
es gilt ja arcsin(sin x)= x weil ja arcsin die Umkehrfunktion von sin ist!
dann wollte ich das Integral umschreiben in
[mm] \integral_{0}^{\pi}{x dx} [/mm] aber das ist wohl falsch und soll so heißen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{x dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(\pi-x) dx}
[/mm]
aber wie komme ich da auf die einzelnen Grenzen und vorallem dann auf
[mm] (\pi [/mm] -x)?
dann hab ich dazu die Stammfunktion gebildet:
[mm] [\bruch{1}{2}x^2] [/mm] + [mm] [\pix-\bruch{1}{2}x^2]
[/mm]
= [mm] \bruch{\pi^2}{8} [/mm] + [mm] \pi^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\pi^2 -\bruch{1}{2}\pi^2+ \bruch{\pi^2}{8}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}\pi^2
[/mm]
ist das Ergebnis denn richtig?
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Hallo!
> Berechnen Sie [mm]\integral_{0}^{\pi}{arcsin(sin x) dx}[/mm]
> Hallo
> mache grade diese Aufgabe und hab eine kurze Frage
>
> es gilt ja arcsin(sin x)= x weil ja arcsin die
> Umkehrfunktion von sin ist!
Genau.
Das gilt allerdings nur im Intervall [mm] [-\pi/2,\pi/2]. [/mm] Denn: Da der Sinus schon auf [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] seinen gesamten Wertebereich annimmt, kann auch die Umkehrfunktion letztlich nur mit Definitionsbereich [-1,1] und Wertebereich [mm] [\pi/2,\pi/2] [/mm] definiert werden.
Was wir jetzt im Grunde schaffen müssen, um arcsin(sin(x)) berechnen zu können, ist, im Sinus wieder ein Argument zu erzeugen, dass im Intervall [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] liegt und trotzdem denselben Funktionswert hat wie das eigentliche Argument x. Dann können wir nämlich den Arcsin direkt anwenden, denn für x im Intervall [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] gilt wirklich: arcsin(sin(x)) = x.
Es gilt: [mm] $\sin(\pi [/mm] - x) = [mm] \sin(\pi)\cos(x) [/mm] - [mm] \cos(\pi)*\sin(x) [/mm] = [mm] \sin(x)$,
[/mm]
und somit erhältst du dann für [mm] $x\in(\pi/2,\pi]$:
[/mm]
$arcsin(sin(x)) = [mm] arcsin(sin(\pi-x)) [/mm] = [mm] \pi-x$
[/mm]
> dann wollte ich das Integral umschreiben in
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{x dx}[/mm] aber das ist wohl falsch und
> soll so heißen:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{x dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(\pi-x) dx}[/mm]
> aber wie
> komme ich da auf die einzelnen Grenzen und vorallem dann
> auf
> [mm](\pi[/mm] -x)?
>
> dann hab ich dazu die Stammfunktion gebildet:
>
> [mm][\bruch{1}{2}x^2][/mm] + [mm][\pix-\bruch{1}{2}x^2][/mm]
> = [mm]\bruch{\pi^2}{8}[/mm] + [mm]\pi^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}\pi^2 -\bruch{1}{2}\pi^2+ \bruch{\pi^2}{8}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}\pi^2[/mm]
>
> ist das Ergebnis denn richtig?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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