Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 03.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | Integrieren Sie [mm] \int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] |
Hallo,
wollte wieder mal ein bisschen integrieren üben aber ich komm nicht so ganz weiter:
[mm] \int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}
[/mm]
Substitution:
u= [mm] x^2+2x+2
[/mm]
u'= [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x+2 => dx= [mm] \bruch{du}{2x+2}
[/mm]
aber ab jetzt weiß ich nicht wir ich das wieder ins Integral einbauen kann...
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Hallo Peter,
> Integrieren Sie [mm]\int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
> Hallo,
>
> wollte wieder mal ein bisschen integrieren üben aber ich
> komm nicht so ganz weiter:
>
> [mm]\int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
>
> Substitution:
Das wird hier so einfach nicht klappen ...
> u= [mm]x^2+2x+2[/mm]
> u'= [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 2x+2 => dx= [mm]\bruch{du}{2x+2}[/mm]
>
> aber ab jetzt weiß ich nicht wir ich das wieder ins
> Integral einbauen kann...
Forme zunächst um:
[mm] $\int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+4}{x^2+2x+2} \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+2}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Das hat bekanntlich die Stammfunktion [mm] $\ln(|f(x)|)+C$
[/mm]
Falls nicht bekannt, allg. Substitution $u=f(x)$ bzw. bei dir [mm] $u=x^2+2x+2$
[/mm]
Für das hintere Integral denke an das Integral [mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}=\arctan(z)+C$
[/mm]
Mache eine quadratische Ergänzung im Nenner, also für [mm] $x^2+2x+2$, [/mm] dann kommst du auf eine entsprechende Substitution, um das Integral in [mm] $K\cdot{}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}$ [/mm] zu überführen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 03.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay! aber hab trotzdem noch eine Verständnis frage damit ich das beim nächsten Mal selber hinkriege:
[mm] \int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+4}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] wie kommste eigentlich dadrauf? haste einfach nur erweitert weils dann einfacher ist? also wie kommt dieses [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zustande und der gesamte Zähler?
[mm] =\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+2}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}
[/mm]
und was wurde hier gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 03.03.2010 | | Autor: | abakus |
> okay! aber hab trotzdem noch eine Verständnis frage damit
> ich das beim nächsten Mal selber hinkriege:
>
> [mm]\int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+4}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm] wie
> kommste eigentlich dadrauf? haste einfach nur erweitert
> weils dann einfacher ist? also wie kommt dieses
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] zustande und der gesamte Zähler?
> [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+2}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm] \ + \
> [mm]\int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
> und was wurde hier gemacht?
>
>
Hallo,
das Integral eines Bruchs lässt sich ganz einfach angeben, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Die Stammfunktion hat dann nämlich die Form F(X)=ln(Nenner).
Nun ist die Ableitung des Nenners gerade 2x+2. Im Zähler steht aber nicht 2x, sondern nur 1x.
Deshalb schreiben wir x+2 in der Form 0,5(2x+4). 2x ist die Ableitung von [mm] x^2, [/mm] und den Faktor 0,5 können wir vor das Integral ziehen.
Dummerweise ist 4 nicht mehr die Ableitung von 2x, deshalb zerlegen wir den Ausdruck 0,5(2x+4)
in 0,5 ((2x+2)+2)=0,5(2x+2) + 1. Der Gesamtbruch lautet somit
[mm] \frac{0,5(2x+2)+1}{x^2+2x+2} [/mm] und kann auseinandergenommen werden zu
[mm] \frac{0,5(2x+2)}{x^2+2x+2} +\frac{1}{x^2+2x+2} [/mm] .
Eine Stammfunktion des ersten Bruchs ist 0,5 [mm] ln(x^2+2x+2), [/mm] und den 2. Bruch bekommt man leicht in die Form [mm] \frac{1}{z^2+1} [/mm] .
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 03.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
nur noch eine letzte Frage:
also hab das jetzt soweit alles nachvollziehen können!
hab auch das letzte Integral [mm] \int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] umgeschrieben in [mm] \int{\frac{1}{(x+1)^2+1} \ dx}
[/mm]
dann die substitution für [mm] (x+1)^2=z^2 [/mm] und erhalte
[mm] \int{\frac{1}{z^2+1} \ dx} [/mm] das ist ja gleicht arctan'(z) also ich davon die stammfunktion arctan(z) aber muss ich dann nicht noch eine resubstitution machen?
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> nur noch eine letzte Frage:
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> also hab das jetzt soweit alles nachvollziehen können!
> hab auch das letzte Integral [mm]\int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
> umgeschrieben in [mm]\int{\frac{1}{(x+1)^2+1} \ dx}[/mm]
> dann die
> substitution für [mm](x+1)^2=z^2[/mm] und erhalte
> [mm]\int{\frac{1}{z^2+1} \ dx}[/mm] das ist ja gleicht arctan'(z)
> also ich davon die stammfunktion arctan(z) aber muss ich
> dann nicht noch eine resubstitution machen?
bei unbestimmten integralen schon, ja
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 03.03.2010 | | Autor: | abakus |
> > nur noch eine letzte Frage:
> >
> > also hab das jetzt soweit alles nachvollziehen können!
> > hab auch das letzte Integral [mm]\int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}[/mm]
> > umgeschrieben in [mm]\int{\frac{1}{(x+1)^2+1} \ dx}[/mm]
> > dann
> die
> > substitution für [mm](x+1)^2=z^2[/mm] und erhalte
> > [mm]\int{\frac{1}{z^2+1} \ dx}[/mm]
Fast. Sicher nur ein Tippfehler: am Ende steht nicht dx, sondern dz.
das ist ja gleicht
> arctan'(z)
> > also ich davon die stammfunktion arctan(z) aber muss ich
> > dann nicht noch eine resubstitution machen?
>
> bei unbestimmten integralen schon, ja
>
> gruß tee
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