Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx} [/mm] , sin(x) = [mm] \frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)} [/mm] |
Hi,
haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht weiter:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx}, [/mm] t:= tan(0.5x)
[mm] =\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx} [/mm] wenn ich jetzt [mm] \frac{1+t^2} [/mm] =: u definiere dann wird [mm] {t+t^2} [/mm] durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt... andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut gewählt?
Snafu
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 26.06.2010 | | Autor: | weduwe |
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx}[/mm] , sin(x) =
> [mm]\frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)}[/mm]
> Hi,
>
> haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht
> weiter:
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx},[/mm] t:=
> tan(0.5x)
> [mm]=\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx}[/mm] wenn
> ich jetzt [mm]\frac{1+t^2}[/mm] =: u definiere dann wird [mm]{t+t^2}[/mm]
> durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt...
> andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut
> gewählt?
>
> Snafu
das ist schon (fast) die richtige substitution.
t = [mm] tan\frac{x}{2} [/mm] ergibt
[mm] sinx=\frac{2t}{1+t^2} [/mm] und [mm] dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2}
[/mm]
wenn du nun einsetzt, bleibt fast nix mehr übrig 
|
|
|
| |
|
Hi,
> [mm] dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2}
[/mm]
ich habe da folgendes:
t:= [mm] tan(\frac{x}{2}) [/mm] => dt= 1 + [mm] tan^2(\frac{x}{2}) [/mm] dx <=> dx= [mm] \frac{dt}{1 + tan^2(\frac{x}{2})} [/mm] mit x = 2arctan(t) folgt dx = [mm] \frac{1}{1+t^2}, [/mm] wo ist mein Fehler?
habe jetzt mal mit meiner Version gerechnet:
dann kriege ich durch die Substitution: [mm] \integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t^2} dx} =\integral_{}^{}{\frac{1}{2t} dx}=\frac{1}{2} [/mm] ln(t) = [mm] \frac{1}{2} ln(tan(\frac{x}{2}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(ln(sin(\frac{x}{2}) [/mm] - [mm] ln(cos(\frac{x}{2}))
[/mm]
...jetzt soll da aber [mm] ln(2sin(\frac{x}{2}) [/mm] - [mm] ln(2cos(\frac{x}{2}) [/mm] rauskommen?
Snafu
|
|
|
| |
|
Hallo SnafuBernd,
> Hi,
>
> > [mm]dx=\frac{2\cdot dt}{1+t^2}[/mm]
> ich habe da folgendes:
> t:= [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] => dt= 1 + [mm]tan^2(\frac{x}{2})[/mm] dx <=>
> dx= [mm]\frac{dt}{1 + tan^2(\frac{x}{2})}[/mm] mit x = 2arctan(t)
> folgt dx = [mm]\frac{1}{1+t^2},[/mm] wo ist mein Fehler?
Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt [/mm] sein.
>
> habe jetzt mal mit meiner Version gerechnet:
> dann kriege ich durch die Substitution:
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t^2} dx} =\integral_{}^{}{\frac{1}{2t} dx}=\frac{1}{2}[/mm]
> ln(t) = [mm]\frac{1}{2} ln(tan(\frac{x}{2})[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2}(ln(sin(\frac{x}{2})[/mm] - [mm]ln(cos(\frac{x}{2}))[/mm]
> ...jetzt soll da aber [mm]ln(2sin(\frac{x}{2})[/mm] -
> [mm]ln(2cos(\frac{x}{2})[/mm] rauskommen?
Es gilt :
[mm]ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
mit [mm]a \not= 0[/mm].
>
> Snafu
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt [/mm] sein.
woher kommt den die 2 im Zähler? Ich sehe es nicht und bei meiner Umformung im letzten Post , kommt keine auf?
> [mm] ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right)
[/mm]
kannst du mir sagen woher das a kommt, weil darauf kommt es mir ja genau an, aber hier taucht es plötzlich auf und ich verstehe nicht woher es kommt?
Snafu
|
|
|
| |
|
Hallo SnafuBernd,
> Hi,
>
> > Hier muss [mm]dx=\bruch{\red{2}}{1+t^{2}} \ dt[/mm] sein.
> woher kommt den die 2 im Zähler? Ich sehe es nicht und bei
> meiner Umformung im letzten Post , kommt keine auf?
Nun, die "2" konmt daher, wenn Du
[mm]x=2*\operatorname{arctan} \left(t\right)[/mm]
nach t differenzierst.
> >
> [mm]ln(tan(\frac{x}{2}))=ln(\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=ln(\bruch{a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)})=\ln\left(a*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)\right)-\ln\left(a*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
>
> kannst du mir sagen woher das a kommt, weil darauf kommt es
> mir ja genau an, aber hier taucht es plötzlich auf und ich
> verstehe nicht woher es kommt?
Der Wert eines Bruches bleibt natürlich erhalten, wenn man ihn mit
[mm]\bruch{1}{1}, \ \bruch{2}{2}, \ \bruch{3}{3}[/mm] usw. multipliziert.
Allgemein bleibt der Werte eines Bruches erhalten, wenn man ihn mit [mm]\bruch{a}{a}, \ a \not= 0[/mm] multipliziert.
>
> Snafu
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi,
irgendwie blicke ich grad nicht, also wenn ich substituiere setze ich t:= [mm] tan(\frac{x}{2}) [/mm] damit ist dt = [mm] 1+tan^2(\frac{x}{2})dx [/mm]
und das ist <=> dx = [mm] \frac{1}{1+tan^2(\frac{x}{2})}dt [/mm] nun setze ich für x = artan(t)*2 ein, woraus folgt [mm] dx=\frac{1}{1+tan^2(actan(t))}dt =\frac{1}{1+t^2}dt, [/mm] wo ist mein Fehler?
Snafu
|
|
|
| |
|
Hallo SnafuBernd,
> Hi,
>
> irgendwie blicke ich grad nicht, also wenn ich substituiere
> setze ich t:= [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] damit ist dt =
> [mm]1+tan^2(\frac{x}{2})dx[/mm]
Hier hast Du die innere Ableitung von [mm]tan(\frac{x}{2})[/mm] vergessen.
Daher muss es
[mm]dt= \red{\bruch{1}{2}} \left(1+tan^2(\frac{x}{2})\right) \ dx[/mm]
lauten.
> und das ist <=> dx = [mm]\frac{1}{1+tan^2(\frac{x}{2})}dt[/mm] nun
> setze ich für x = artan(t)*2 ein, woraus folgt
> [mm]dx=\frac{1}{1+tan^2(actan(t))}dt =\frac{1}{1+t^2}dt,[/mm] wo ist
> mein Fehler?
>
> Snafu
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 So 27.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Ah ok. Danke!
|
|
|
| |
|
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{sin(x)} dx}[/mm] , sin(x) =
> [mm]\frac{2tan(0.5x)}{1+tan^2(0.5x)}[/mm]
wenn du den sinus mit dem theorem ersetzt, wirst du sehen, dass die ableitung des nenners im zähler steht. und was bedeutet das? 
> Hi,
>
> haben die sinus-Umformung verwendet, komme jedoch nicht
> weiter:
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1+tan^2(0.5x)}{2tan(0.5x)} dx},[/mm] t:=
> tan(0.5x)
> [mm]=\integral_{}^{}{\frac{1+t^2}{2t}\frac{1}{1+t} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{2}\frac{1+t^2}{t+t^2} dx}[/mm] wenn
> ich jetzt [mm]\frac{1+t^2}[/mm] =: u definiere dann wird [mm]{t+t^2}[/mm]
> durch integrieren wieder in mehrere Terme umgewandelt...
> andersrum genauso..ist die Substitution nicht gut
> gewählt?
>
> Snafu
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hi,
kommt grad nicht drauf, was ich aus [mm] \frac{f}{f'} [/mm] erkennen kann, bzw. wie das beim Integrieren hilft?
Snafu
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> kommt grad nicht drauf, was ich aus [mm]\frac{f}{f'}[/mm] erkennen
> kann, bzw. wie das beim Integrieren hilft?
>
> Snafu
ich meinte [mm] \int\frac{f'}{f}
[/mm]
und das ergibt ln|f|
gruß tee
|
|
|
|
