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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Fr 21.07.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | Berechnen sie die Verteilungsfunktion F(x) von
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
5*(1-x)^4, & \mbox{für }0<=x<1\mbox{ } \\
0 & \mbox{sonst } \mbox{}
\end{matrix}\right. [/mm]
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Guten Morgen erstmal! :)
Also, durch Integration durch Substitution bin ich auf die Stammfunktion
F(x) = [mm] -1(1-x)^5 [/mm]
gekommen.
Die Lösung ist aber:
F(x) = [mm] 1-(1-x)^5
[/mm]
Wenn ich meine Lösung aber ableite komme ich wieder genau auf f(x).
Wo liegt mein Fehler? Hat das mit der Abschnittsweise definierten Funktion zu tun? Wenn ja, wäre ich froh über eine Erläuterung
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Hallo chriskde!
Deine Stammfunktion ist auch fast richtig! Allerdings unterschlägst Du hier noch die Integrationskonstante $+ \ C$ (sehr "beliebter" Fehler  ):
$F(x) \ = \ [mm] (-1)*(1-x)^5 [/mm] \ [mm] \red{+ \ C} [/mm] \ = \ [mm] -(1-x)^5+C$
[/mm]
Den Wert von $C_$ musst Du nun aus den Randbedingungen Deiner Verteilungsfunktion ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 21.07.2006 | | Autor: | chriskde |
Ich bin mit diesen verzweigten Funktionen einfach nicht so fit. Kannst du mir vielleicht einen kleinen Denkanstoß geben, der mir allgemein bei solchen Aufgaben hilft?
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Nun, bei diesen verzweigten Funktionen mußt du jeden Zweig einzeln integrieren
Außerhalb von [0;1] ist f(x)=0, daher ist dort auch F(x)=0. Die Stammfunktion für innerhalb kennst du ja.
Nun sollte eine Stammfunktion stetig sein, sprich du solltest sie zeichnen können, ohne den Stift absetzen zu müssen.
Stetig heißt in dem Falle, daß bei x=1 und x=0, also an den Übergängen, sich die Funktionen von außerhalb und innerhalb auch berühren. In deinem Fall muß also gelten : F(1)=0 sowie F(0)=0
Wie oben schon gesagt, mußt du die Konstante nun so bestimmten, daß das paßt, und das ist für C=1 so.
Um dich komplett zuverwirren: Eigentlich hat jede Stammfunktion so eine Konstante dran. Du kannst willkürlich eine einzelne Konstante 0 setzen (wurde hier für den Außenbereich gemacht) und daraus alle anderen Konstanten bestimmen. Eine andere Stammfunktion wäre z.B.:
[mm] f(x)=\begin{cases} -(1-x)^5, & \mbox{für } 0\le x <1 \\ -1, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Hier habe ich einfach die Konstante von dem inneren Teil auf 0 gesetzt, weshalb die Konstanten außen -1 sein müssen.
Nochmal: Durch die Konstanten kannst du die Grafen einzelnen Teilstücke der Stammfunktion hoch und runter schieben. Wo genau sie sich befinden, ist egal, hauptsache, die Grafen berühren sich an den Übergängen.
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