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Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Di 11.01.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen Ansatz der Form

$ I = [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{k}cosh(x))$ [/mm]

für ein geeignetes $n [mm] \in \IN$ [/mm] wählen und diesen differenzieren.

Beispiel 7:
[mm] \integral{x^{2} sinh(x) dx} [/mm]

Integriert: [mm] $cosh(x)(x^{2} [/mm] + 2) - [mm] 2x\cdot [/mm] sinh(x) + C$

Hallo alle miteinander,

kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?

Muss ich das Integral [mm] \integral{x^{2} sinh(x) dx} [/mm] so umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm] $x^{k} (A_{k}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{k}cosh(x))$ [/mm] ?
Wenn ja, wie soll ich das anstellen?

Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?

Danke im Voraus,

Lg
dreamweaver

        
Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Di 11.01.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> Ansatz der Form
>  
> [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>  
> für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> differenzieren.
>  
> Beispiel 7:
>  [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  
> Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
>  Hallo
> alle miteinander,
>  
> kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
>  
> Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> ?
> Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
>  
> Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?


Als Ansatz für das Integral

[mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]

wird

[mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]

gewählt.

Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das Ergebnis mit

[mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]


>  
> Danke im Voraus,
>  
> Lg
>  dreamweaver


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Di 11.01.2011
Autor: dreamweaver

Hallo,
> Hallo dreamweaver,
>  
> > Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> > Ansatz der Form
>  >  
> > [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>  
> >  

> > für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> > differenzieren.
>  >  
> > Beispiel 7:
>  >  [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  >  
> > Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
>  >  
> Hallo
> > alle miteinander,
>  >  
> > kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
>  >  
> > Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> > umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> > ?
> > Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
>  >  
> > Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
>  
>
> Als Ansatz für das Integral
>  
> [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  
> wird
>  
> [mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>  
> gewählt.

Das heißt, ich muss die Reihe aufschreiben und dann ableiten?
Also diese Funktion f(x) ableiten?
f(x) = [mm] x^{0} (A_{0}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{0}cosh(x)) [/mm] + [mm] x^{1} (A_{1}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{2}cosh(x)) [/mm] + [mm] x^{2} (A_{3}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{3}cosh(x)) [/mm]

Aber das kann doch nicht sein oder? Ich glaub ich mach da schon wieder Blödsinn ^^.

Oder soll die Funktion die ich ableiten muss so aussehen?
f(x) = [mm] x^{0} (A_{0}sinh(x)) [/mm] + [mm] x^{1} (A_{1}sinh(x)) [/mm] + [mm] x^{2} (A_{3}sinh(x)) [/mm]

>  
> Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das
> Ergebnis mit
>  
> [mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  
>
> >  

> > Danke im Voraus,
>  >  
> > Lg
>  >  dreamweaver
>
>
> Gruss
>  MathePower

Danke MathePower!

Lg

Bezug
                        
Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Di 11.01.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Hallo,
>  > Hallo dreamweaver,

>  >  
> > > Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> > > Ansatz der Form
>  >  >  
> > > [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> > > differenzieren.
>  >  >  
> > > Beispiel 7:
>  >  >  [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  >  >  
> > > Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
>  >

>  >  
> > Hallo
> > > alle miteinander,
>  >  >  
> > > kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
>  >  >  
> > > Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> > > umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> > > ?
> > > Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
>  >  >  
> > > Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
>  >  
> >
> > Als Ansatz für das Integral
>  >  
> > [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  >  
> > wird
>  >  
> > [mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>  
> >  

> > gewählt.
>  Das heißt, ich muss die Reihe aufschreiben und dann
> ableiten?
>  Also diese Funktion f(x) ableiten?
>  f(x) = [mm]x^{0} (A_{0}sinh(x)[/mm] + [mm]B_{0}cosh(x))[/mm] + [mm]x^{1} (A_{1}sinh(x)[/mm]
> + [mm]B_{2}cosh(x))[/mm] + [mm]x^{2} (A_{3}sinh(x)[/mm] + [mm]B_{3}cosh(x))[/mm]
>  
> Aber das kann doch nicht sein oder? Ich glaub ich mach da


Doch das ist so.


> schon wieder Blödsinn ^^.


Der Blödsinn beschränkt sich hier auf die Indizes.

Du machst den Ansatz:

[mm]f(x) = x^{0} (A_{0}sinh(x) + B_{0}cosh(x)) + x^{1} (A_{1}sinh(x) + B_{\blue{1}}cosh(x)) + x^{2} (A_{\blue{2}}sinh(x) + B_{\blue{2}}cosh(x))[/mm]

Diesen leitest Du jetzt ab.


>  
> Oder soll die Funktion die ich ableiten muss so aussehen?


Das ist dann zu einfach.


>  f(x) = [mm]x^{0} (A_{0}sinh(x))[/mm] + [mm]x^{1} (A_{1}sinh(x))[/mm] + [mm]x^{2} (A_{3}sinh(x))[/mm]
>  
> >  

> > Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das
> > Ergebnis mit
>  >  
> > [mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>  >  
> >
> > >  

> > > Danke im Voraus,
>  >  >  
> > > Lg
>  >  >  dreamweaver
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Danke MathePower!
>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Di 11.01.2011
Autor: dreamweaver

Ok ich hab jetzt differenziert und bekomme folgendes raus:

[mm] f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] cosh(x)(A_{0} [/mm] + [mm] B_{1} [/mm] + [mm] x(A_{1} [/mm] + [mm] 2B_{2} [/mm] + [mm] xA_{2})) [/mm] + [mm] sinh(x)(B_{0} [/mm] + [mm] A_{1} [/mm] + [mm] x(B_{1} [/mm] + [mm] 2A_{2} [/mm] + [mm] xB_{2})) [/mm]

Muss ich das nochmal ableiten, oder ist es schon das Ergebnis?

Was ist der nächste Schritt?

Lg

Bezug
                                        
Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Mi 12.01.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Ok ich hab jetzt differenziert und bekomme folgendes raus:
>  
> [mm]f^{(1)}(x)[/mm] = [mm]cosh(x)(A_{0}[/mm] + [mm]B_{1}[/mm] + [mm]x(A_{1}[/mm] + [mm]2B_{2}[/mm] +
> [mm]xA_{2}))[/mm] + [mm]sinh(x)(B_{0}[/mm] + [mm]A_{1}[/mm] + [mm]x(B_{1}[/mm] + [mm]2A_{2}[/mm] +
> [mm]xB_{2}))[/mm]
>  
> Muss ich das nochmal ableiten, oder ist es schon das
> Ergebnis?
>  
> Was ist der nächste Schritt?


Jetzt musst Du [mm]f^{(1)}(x)[/mm] mit  [mm]x^{2}*\sinh\left(x\right)[/mm] vergleichen.


>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Mi 12.01.2011
Autor: dreamweaver

Muss ich also schaun, welche Werte ich für [mm] A_{0}, B_{0}... [/mm] einsetzen muss, damit $ [mm] f^{(1)}(x) [/mm] $ gleich  $ [mm] x^{2}\cdot{}\sinh\left(x\right) [/mm] $  entspricht?

Lg

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Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Mi 12.01.2011
Autor: fencheltee


> Muss ich also schaun, welche Werte ich für [mm]A_{0}, B_{0}...[/mm]
> einsetzen muss, damit [mm]f^{(1)}(x)[/mm] gleich  
> [mm]x^{2}\cdot{}\sinh\left(x\right)[/mm]  entspricht?
>  
> Lg

genau, einfach nen koeffizientenvergleich machen

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Do 13.01.2011
Autor: dreamweaver

Danke für die Antwort, aber wie kann ich hier einen Koeffizientenvergleich anstellen?
Für einen Koeffizientenvergleich brauch ich doch eine Gleichung oder?

Muss ich folgende Gleichung anstellen?

[mm] x^{2}sinh(x) [/mm] = $ [mm] cosh(x)(A_{0} [/mm]  +  [mm] B_{1} [/mm]  +  [mm] x(A_{1} [/mm]  +  [mm] 2B_{2} [/mm]  +  [mm] xA_{2})) [/mm]  +  [mm] sinh(x)(B_{0} [/mm]  + [mm] A_{1} [/mm]  +  [mm] x(B_{1} [/mm]  +  [mm] 2A_{2} [/mm]  +  [mm] xB_{2})) [/mm] $

Wie mach ich jetzt einen Koeffizientenvergleich?

Danke für eure Bemühungen.

Lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 13.01.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Danke für die Antwort, aber wie kann ich hier einen
> Koeffizientenvergleich anstellen?
>  Für einen Koeffizientenvergleich brauch ich doch eine
> Gleichung oder?
>  
> Muss ich folgende Gleichung anstellen?
>  
> [mm]x^{2}sinh(x)[/mm] = [mm]cosh(x)(A_{0} + B_{1} + x(A_{1} + 2B_{2} + xA_{2})) + sinh(x)(B_{0} + A_{1} + x(B_{1} + 2A_{2} + xB_{2}))[/mm]


Besser Du multiplizierst die rechte Seite aus.


>  
> Wie mach ich jetzt einen Koeffizientenvergleich?

Vergleiche jeweilse gleiche Ausdrücke in x auf der rechten Seite
mit denen auf der linken Seite.

Ist ein Ausdruck auf der linken Seite nicht vorhanden, so ist er 0.


>  
> Danke für eure Bemühungen.
>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Integrieren nach best. Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Do 13.01.2011
Autor: dreamweaver

Ok dann hab ich folgendes dastehen:

[mm] x^{2}sinh(x) [/mm] = [mm] cosh(x)A_{0} [/mm] + [mm] cosh(x)B_{1} [/mm] + [mm] cosh(x)xA_{1} [/mm] + [mm] cosh(x)2xB_{2} [/mm] + [mm] cosh(x)x^{2}A_{2} [/mm] + [mm] sinh(x)B_{0} [/mm] + [mm] sinh(x)A_{1} [/mm] + [mm] sinh(x)xB_{1} [/mm] + [mm] sinh(x)2xA_{2} [/mm] + [mm] sinh(x)x^{2}B_{2} [/mm]

Wenn ich nun vergleiche, komme ich auf folgende Werte:
[mm] B_{0} [/mm] = 2
[mm] B_{2} [/mm] = 1
[mm] A_{1} [/mm] = -2
Die restlichen Faktoren sind 0.

Ich denke das stimmt so oder?

Vielen Dank!

Lg


Bezug
                                                                                        
Bezug
Integrieren nach best. Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Do 13.01.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Ok dann hab ich folgendes dastehen:
>  
> [mm]x^{2}sinh(x)[/mm] = [mm]cosh(x)A_{0}[/mm] + [mm]cosh(x)B_{1}[/mm] + [mm]cosh(x)xA_{1}[/mm]
> + [mm]cosh(x)2xB_{2}[/mm] + [mm]cosh(x)x^{2}A_{2}[/mm] + [mm]sinh(x)B_{0}[/mm] +
> [mm]sinh(x)A_{1}[/mm] + [mm]sinh(x)xB_{1}[/mm] + [mm]sinh(x)2xA_{2}[/mm] +
> [mm]sinh(x)x^{2}B_{2}[/mm]
>  
> Wenn ich nun vergleiche, komme ich auf folgende Werte:
>  [mm]B_{0}[/mm] = 2
>  [mm]B_{2}[/mm] = 1
>  [mm]A_{1}[/mm] = -2
>  Die restlichen Faktoren sind 0.
>  
> Ich denke das stimmt so oder?


Ja, das stimmt so. [ok]


>  
> Vielen Dank!
>  
> Lg

>


Gruss
MathePower  

Bezug
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