Integritätsbereich mit Normfkt < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:37 Di 18.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Gegeben sei der Integritätsbereich [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] mit der Normfunktion [mm] N(a+b\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2.
[/mm]
a) Man ermittle alle Einheiten von [mm] \IZ[\wurzel{-5}]
[/mm]
b) Man zeige, dass die Elemente 3,7,1 + [mm] \wurzel{-5} [/mm] und [mm] 1-2\wurzel{-5} [/mm] irreduzibel in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] sind, aber 3*7 = 21 und [mm] (1+2\wurzel{-5})*(1-2\wurzel{-5}) [/mm] = 21 gilt. |
Hallo!
Ich habe hier einen Post gefunden, der eine ähnliche Aufgabe betrifft:
https://matheraum.de/forum/Reduzibilitaet/t136127
ad a)
Einheiten sind ja die invertierbaren Elemente.
Außerdem weiß man, dass [mm] N(a+b\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] * [mm] \wurzel{-5}) [/mm] * [mm] (x_2 [/mm] - [mm] y_2 [/mm] * [mm] \wurzel{-5})
[/mm]
Für die Einheiten muss gelten, dass sie die Norm 1 haben, also
N(x) = 1
Es handelt sich ja um Euklidische Ringe mit euklidischen Zahlen.
also entspricht a + bi = 1 + 1*i
damit weiß ich, das
[mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2 [/mm] = (1 + 1 * [mm] \wurzel{-5}) [/mm] * (1 - 1 * [mm] \wurzel{-5})
[/mm]
irgendwo in dem oben referenzierten post steht, dass
"aber fuer $ [mm] \sqrt{-d} [/mm] $ mit d > 1 sind es immer nur $ [mm] \pm [/mm] 1 $"
was bedeutet das genau?
ich stehe ziemlich auf der leitung bei diesem bsp.
vielen dank für jede hilfe
ad b)
habe ich mir noch nicht vorgenommen, da ich bei a ziemlich hänge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Do 20.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:44 Di 25.11.2008 | | Autor: | uniklu |
*edit*
erster Post kopiert, da fälligkeit abgelaufen
| Aufgabe | Gegeben sei der Integritätsbereich [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] mit der Normfunktion [mm] N(a+b\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2.
[/mm]
a) Man ermittle alle Einheiten von [mm] \IZ[\wurzel{-5}]
[/mm]
b) Man zeige, dass die Elemente 3,7,1 + [mm] \wurzel{-5} [/mm] und [mm] 1-2\wurzel{-5} [/mm] irreduzibel in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] sind, aber 3*7 = 21 und [mm] (1+2\wurzel{-5})*(1-2\wurzel{-5}) [/mm] = 21 gilt. |
Hallo!
Ich habe hier einen Post gefunden, der eine ähnliche Aufgabe betrifft:
https://matheraum.de/forum/Reduzibilitaet/t136127
ad a)
Einheiten sind ja die invertierbaren Elemente.
Außerdem weiß man, dass [mm] N(a+b\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] * [mm] \wurzel{-5}) [/mm] * [mm] (x_2 [/mm] - [mm] y_2 [/mm] * [mm] \wurzel{-5})
[/mm]
Für die Einheiten muss gelten, dass sie die Norm 1 haben, also
N(x) = 1
Es handelt sich ja um Euklidische Ringe mit euklidischen Zahlen.
also entspricht a + bi = 1 + 1*i
damit weiß ich, das
[mm] a^2 [/mm] + [mm] 5b^2 [/mm] = (1 + 1 * [mm] \wurzel{-5}) [/mm] * (1 - 1 * [mm] \wurzel{-5})
[/mm]
irgendwo in dem oben referenzierten post steht, dass
"aber fuer $ [mm] \sqrt{-d} [/mm] $ mit d > 1 sind es immer nur $ [mm] \pm [/mm] 1 $"
was bedeutet das genau?
ich stehe ziemlich auf der leitung bei diesem bsp.
vielen dank für jede hilfe
ad b)
habe ich mir noch nicht vorgenommen, da ich bei a ziemlich hänge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 25.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Für a) verwende ich verwende einfach folgenden Hilfssatz:
Damit u Einheit in [mm] \IZ [\wurzel{d}] [/mm] ist, muss daher N(u) | N(1) <=> N(u) | 1 <=> N(u) = [mm] \pm [/mm] 1
u = a + b [mm] \wurzel{d} [/mm] => [mm] (a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] d) | 1 <=> [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] d = [mm] \pm [/mm] 1
Für den Fall, dass d < -1 ist gilt für die Einheiten:
u = 1, u = -1
a = [mm] \pm [/mm] 1, b = 0
bei b) weiß ich immer noch nicht weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 25.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Nun, nach knapp einer Woche habe ich immer noch keine Ahnung wie der Lösungsweg für die Aufgabe ist :)
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