Interessante Induktionsaufgabe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Fr 04.04.2014 | | Autor: | ekmac |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n aus [mm] \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Leute,
Ich will die Aufgabe lösen, habe jedoch Probleme. Vollständige Induktion kann ich. Mein Problem besteht darin, dass ich mit dem Binomialkoeffizienten nichts anfangen kann. Habe einen "Fast"-Mathelehrer und eine Bachelor Mathestudentin, die jetzt mit ihrer BSc Arbeit beginnen wird gefragt, aber beide konnten mir nicht helfen.
Der Induktionsanfang für n=1, das klappt und will es hier nicht vorführen.
Das habe ich:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \bruch{2k-1}{2k} [/mm]
[mm] =\produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} [/mm]
Jetzt auf der anderen Seite den Bruch [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} [/mm] ergänzen
= [mm] \bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} [/mm]
da [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] ausgeschrieben folgendes ergibt:
[mm] \bruch{2n!}{n!*(2n-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{n! * n!} [/mm]
Daran erkenn ich, dass mir im Nenner einmal das *(n+1) fehlt
und im Zähler das [mm] *(n+1)^2 [/mm] fehlt.
Also:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} *\bruch{n+1}{n+1}
[/mm]
Somit hätte ich es geschafft, dass die rechte Seite nun so aussieht:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2(n+1) \\ n+1} \bruch{2(n+1)-1}{2} [/mm]
Die Zwei im Nenner fasse ich mit dem vordersten Bruch zu:
[mm] \bruch{1}{2^{2n+1}}
[/mm]
zusammen.
Somit steht nun:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}} \vektor{2(n+1) \\ n+1} [/mm] * 2(n+1)-1
Und jetzt komm ich nicht weiter. Ich habe viele Sachen ausprobiert, jedoch würde es sehr lange dauern, bis ich alle hier rein schreibe.
Es wäre wirklich unglaublich nett, wenn jmd, der das wirklich lösen kann, mir ein Tip gibt, der auch zur Lösung führt.
Bitte nicht falsch verstehen. Ich will keine Lösung, ich will selber auf die Lösung kommen. Trotz der Regeln für den Binomialkoeffizienten bin ich leider bei meinen unterschiedlichsten Lösungswegen nicht darauf gekommen. Ich habe das Gefühl, dass die Aufgabe nicht geht, obwohl es eine Probeklausuraufgabe war -.-
Danke im Voraus
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Hallo,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle
> n aus [mm]\IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 1 gilt:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Leute,
>
> Ich will die Aufgabe lösen, habe jedoch Probleme.
> Vollständige Induktion kann ich. Mein Problem besteht
> darin, dass ich mit dem Binomialkoeffizienten nichts
> anfangen kann. Habe einen "Fast"-Mathelehrer und eine
> Bachelor Mathestudentin, die jetzt mit ihrer BSc Arbeit
> beginnen wird gefragt, aber beide konnten mir nicht
> helfen.
>
> Der Induktionsanfang für n=1, das klappt und will es hier
> nicht vorführen.
> Das habe ich:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1} \bruch{2k-1}{2k}[/mm]
> [mm]=\produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k}[/mm] *
> [mm]\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm]
> Jetzt auf der anderen Seite den Bruch
> [mm]\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm] ergänzen
> = [mm]\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm]
>
> da [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] ausgeschrieben folgendes ergibt:
> [mm]\bruch{2n!}{n!*(2n-n)!}[/mm] = [mm]\bruch{2n!}{n! * n!}[/mm]
>
So wie es dasteht ist es nicht sonderlich eindeutig formuliert, man könnte sogar sagen falsch.. Schreib (2n)! statt 2n!, Letzeres steht wenn man es genau nimmt für 2*n!.
> Daran erkenn ich, dass mir im Nenner einmal das *(n+1)
> fehlt
> und im Zähler das [mm]*(n+1)^2[/mm] fehlt.
Das sehe ich nicht. Mal ganz abgeshen davon, dass sich das Fehlende kürzen würde. Ferner sollten auch im Zähler zwei Terme "fehlen", bzw. wenn er dasteht muss er auch verwurstet werden.
> Also:
> = [mm]\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} *\bruch{n+1}{n+1}[/mm]
> Somit hätte ich es geschafft, dass die rechte Seite nun so
> aussieht:
> = [mm]\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2(n+1) \\ n+1} \bruch{2(n+1)-1}{2}[/mm]
Das stimmt so nicht, schon für n=1 nicht.
Mir scheint du hast den Binomialkoeffizienten hier falsch berechnet.
> Die Zwei im Nenner fasse ich mit dem vordersten Bruch zu:
> [mm]\bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]
> zusammen.
>
> Somit steht nun:
> = [mm]\bruch{1}{2^{2n+1}} \vektor{2(n+1) \\ n+1}[/mm] * 2(n+1)-1
Hier fehlen definitv Klammern. Und evtl. wärs mal ne gute Idee 2(n+1)-1 auszurechnen.
> Und jetzt komm ich nicht weiter. Ich habe viele Sachen
> ausprobiert, jedoch würde es sehr lange dauern, bis ich
> alle hier rein schreibe.
>
> Es wäre wirklich unglaublich nett, wenn jmd, der das
> wirklich lösen kann, mir ein Tip gibt, der auch zur
> Lösung führt.
>
> Bitte nicht falsch verstehen. Ich will keine Lösung, ich
> will selber auf die Lösung kommen. Trotz der Regeln für
> den Binomialkoeffizienten bin ich leider bei meinen
> unterschiedlichsten Lösungswegen nicht darauf gekommen.
> Ich habe das Gefühl, dass die Aufgabe nicht geht, obwohl
> es eine Probeklausuraufgabe war -.-
Eigentlich ist die Aufgabe ziemlich straight-forward Rechnen ohne große Theorie.
> Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Sa 05.04.2014 | | Autor: | ekmac |
@MaslanyFanclub
Ich werde es gleich noch einmal mit deinen Kommentaren durchrechnen und morgen nochmal posten, was ich raus habe, in der Hoffnung, dass es klappt.
werde auch auf Klammern achten.
Danke dir... ich hoffe es klappt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Sa 05.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo ekmac und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
MaslanyFanclub hat dir eigentlich alle deine Fehler aufge-
zeigt, dennoch will ich dir noch einen Tipp geben.
Zu zeigen:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{2k-1}{2k}=\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Wenn du deinen Induktionsschritt anfängst, dann empfehle
ich dir immer davor aufzuschreiben was zu zeigen ist. Das
hat mir persönlich in meinem ersten Semester sehr geholfen.
Bei dir ist im Induktionsschritt folgendes zu zeigen:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \bruch{2k-1}{2k}=\bruch{1}{2^{2(n+1)}} \vektor{2(n+1) \\ n+1}=\bruch{1}{2^{2(n+1)}} \vektor{(2(n+1))! \\ (n+1)!(n+1)!}.
[/mm]
Ich mache dir mal den Anfang.
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \bruch{2k-1}{2k}=\left(\produkt_{k=1}^{n}\bruch{2k-1}{2k}\right)*\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}\overset{\text{IV}}{=}\bruch{1}{2^{2n}} \vektor{2n \\ n}*\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}=\bruch{1}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{n!n!}*\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}.
[/mm]
Jetzt erweitere mit
[mm] 1=\frac{2(n+1)}{2(n+1)}=\frac{2n+2}{2n+2}
[/mm]
und komm auf die obige Behauptung
[mm] \bruch{1}{2^{2(n+1)}} \vektor{(2(n+1))! \\ (n+1)!(n+1)!}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 05.04.2014 | | Autor: | ekmac |
Hallo nochmal und danke euch.
Es ist mir schon fast peinlich, aber ihr scheint etwas zu sehen, was ich übersehe. und es scheint ganz einfach zu sein :(
Ich habe versucht euren Rat zu befolgen. Komme auch auf die Form, die ich erreichen muss, jedoch habe ich einen Faktor zu viel und weiß nicht wie ich den wegbekomme:
Ich setze wie von "DieAcht" empfohlen bei der Induktionsvoraussetzung an:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n}} [/mm] * [mm] \bruch{(2n)!}{n! * n!} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}
[/mm]
Nun wie empfohlen erweitere ich mit 1 = [mm] \bruch{2(n+1)}{2(n+1)}
[/mm]
Zeile 1:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n}} [/mm] * [mm] \bruch{(2n)!}{n! * n!} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)}{2(n+1)}
[/mm]
Zeile 2:
= [mm] \bruch{1}{2^{2n+2}} [/mm] * [mm] \bruch{(2(n+1))!}{(n+1)! * (n+1)!} [/mm] * (2(n+1)-1)
Zeile 3: ändert sich nicht viel
= [mm] \bruch{1}{2^{2n+2}} [/mm] * [mm] \bruch{(2(n+1))!}{(n+1)! * (n+1)!} [/mm] * (2n+1)
So in Zeile 3 ist der erste und zweite Faktor im Prinzip die Lösung, jedoch habe ich noch den Faktor (2n+1).
Ich glaube irgendwas grundlegendes falsch zu machen.
Ich habe es versucht diesmal übersichtlicher zu schreiben.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Ich hoffe, dass ich es heute gelöst bekomme.
Wie verschwindet der Faktor (2n+1)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 05.04.2014 | | Autor: | ekmac |
Danke dir "DieAcht".
Das ist mir wirklich peinlich :D
Aber nun weiß ich, dass ich mich nochmal mit dem Binomialkoeffizienten aussereinanderzusetzen habe.
Und diese Aufgabe wäre damit gelöst.
Wirklich ich danke euch beide sehr, weil ich erleichtert bin, da es wirklich einfacher ist als ich zunächst gedacht habe.
Lieben Gruß
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
