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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:33 Do 23.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Man zeige für [mm] s_i>0 [/mm] und [mm] x_i>0 [/mm] mit [mm] 1\leq i,j\leq [/mm] n unter der Bedingung [mm] \sum_{i=1}^nx_i=1 [/mm] die folgende Ungleichung:
[mm] \prod_{i=1}^n x_i^{s_i}\leq\left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d}x_i\right)^d
[/mm]
wobei [mm] d:=\sum_{i=1}^ns_i [/mm] |
Hallo,
Ich hab mit der Lagrangemethode mal das Maximum der linken Seite unter der Nebenbedinung berechnet. Die linke Seite der Ungleichung wird maximal, wenn [mm] x_i=\frac{s_i}{d} [/mm] für [mm] i=1,\ldots, [/mm] n.
Nur hat mich das leider nicht viel weiter gebracht bisher.
Sieht jemand einen Ausweg?
Diese Ungleichung sieht irgendwie auch sehr stark nach einer Verallgemeinerung von (gewichteten) Mittelungleichungen aus (wenn man auf beiden Seiten die "d. Wurzel" zieht). Kennt sich damit jemand aus?
Bitte um Hilfe!
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 24.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich sehe es nicht, bin auch kein Ungleichungsgucker. Ich glaube aber, dass man mit der Anwendung der ln Funktion weiter kommt.
Man kann auf jeden Fall (Jensensche Ungleichung) auf [mm]\prod_{i=1}^n x_i^{s_i}\leq \sum_{i=1}^n s_ix_i[/mm] kommen. Jetzt vielleicht noch eine Mittelungleichung. Ich gebe ab...
Edit: Geht vielleicht
[mm] $\ln \left( \sqrt[d]{\prod_{i=1}^nx_i^{s_i}}\right)=\ln \left( \prod_{i=1}^nx_i^{\frac{s_i}{d}}\right)=\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} \ln (x_i)\leq \ln \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt[d]{\prod_{i=1}^nx_i^{s_i}} \leq \sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\Rightarrow \prod_{i=1}^nx_i^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\right)^d$
[/mm]
Ich weiß nicht ob das so geht. Ich bin mir aber sicher, dass der "Trick" die Jensensche Ungleichung und die Konkavität der ln- Funktion ist. Ich wüsste aber nicht, wo ich jetzt $ [mm] \sum_{i=1}^nx_i=1 [/mm] $ verwendet hätte. Von daher kann es nur ein evenuteller Ansatz sein. Also noch einmal : "ohne Gewähr"
Fred97?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Sa 25.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin wieschoo,
> Edit: Geht vielleicht
> [mm]\ln \left( \sqrt[d]{\prod_{i=1}^nx_i^{s_i}}\right)=\ln \left( \prod_{i=1}^nx_i^{\frac{s_i}{d}}\right)=\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} \ln (x_i)\leq \ln \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sqrt[d]{\prod_{i=1}^nx_i^{s_i}} \leq \sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\Rightarrow \prod_{i=1}^nx_i^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\right)^d[/mm]
>
> Ich weiß nicht ob das so geht. Ich bin mir aber sicher,
> dass der "Trick" die Jensensche Ungleichung und die
> Konkavität der ln- Funktion ist.
Dein Beweis sieht m. E. gut aus.
> Ich wüsste aber nicht, wo ich jetzt [mm]\sum_{i=1}^nx_i=1[/mm] verwendet hätte.
Mir ist auch nicht klar, warum dies als Voraussetzung gegeben ist. Die Bedingung [mm] \sum_{i=1}^nx_i=1 [/mm] ist überflüssig und man kann die Ungleichung auch für allgemeine [mm] x_i>0 [/mm] zeigen.
Sind die [mm] x_i>0 [/mm] beliebig so kann man die Ungleichung übrigens auf den Fall [mm] \sum_{i=1}^nx_i=1 [/mm] zurückführen, in dem man substituiert [mm] (c:=\sum_{i=1}^nx_i):
[/mm]
[mm] y_i:=\frac{x_i}{c} \gdw x_i=y_i*c
[/mm]
Dann ist offenbar [mm] \sum_{i=1}^ny_i=1 [/mm] und es gilt
[mm] \prod_{i=1}^nx_i^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} x_i\right)^d
[/mm]
[mm] \gdw \prod_{i=1}^n(y_i*c)^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} y_i*c\right)^d
[/mm]
[mm] \gdw c^d\prod_{i=1}^n(y_i)^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} y_i\right)^d*c^d
[/mm]
[mm] \gdw \prod_{i=1}^n(y_i)^{s_i} \leq \left(\sum_{i=1}^n \frac{s_i}{d} y_i\right)^d
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 So 26.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für die Antwort.
> Jensensche Ungleichung
die hatten wir zwar noch nicht, aber ich habe nun bei Wikipedia nachgelesen und es ist mir klar geworden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 26.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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