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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bilden Sie [mm] \integral [/mm] {f(x) dx}
f(x) = [mm] \frac{cos^5 (x)}{sin^4(x)} [/mm] |
[mm] \integral {\frac{cos^5 (x)}{sin^4(x)} dx}
[/mm]
I
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Hallo sissile,
> Bilden Sie [mm]\integral[/mm] {f(x) dx}
> f(x) = [mm]\frac{cos^5 (x)}{sin^4(x)}[/mm]
> [mm]\integral {\frac{cos^5 (x)}{sin^4(x)} dx}[/mm]
>
> Ich subsituiere:
> t= sin(x)
> dt = cos (x) dx
>
> [mm]\integral {\frac{cos^4 (x) dt}{t^4} }[/mm] = [mm]cos^4[/mm] (x) *
> [mm]\integral {t^{-4} dt}[/mm] = [mm]cos^4[/mm] (x) * [mm]\frac{t^{-3}}{-3}[/mm] =
> [mm]-\frac{ cos^4 (x)}{3sin^3(x)}[/mm]
>
> Ich hab das Gefühl ich hab da etwas ganz falsch gemacht!
> Darf ich den Cos einfach als Konstante behandeln? Hätte
> ich den nicht auch substituieren müssen?
>
Der Cosinus ist nicht als Konstante zu behandeln.
Ersetze den Zähler gemäß
[mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
p
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Hallo sissile,
> ABer wenn man nach t integriert dann wäre cos(x) ja eine
> Konstante.
> Was war also an meinen Versuch falsch?
>
Du hast den Cosinus nicht ersetzt.
> Du meinst [mm]cos^5(x)=[/mm]
> [mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
> - [mm]5*(cos(x))^4[/mm] * (sin(x)) dx = 2
> sin(x)*cos(x)-2*cos(x)*sin(x) dx
> - [mm]5*(cos(x))^4[/mm] *(sin(x)) dx =0 dx
> ??
Nein.
Es ist doch [mm]\cos^{2}\left(x\right)=1-\sin^{2}\left(x\right)[/mm]
Damit ist
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{\cos^{5}\left(x\right)}{\sin^{4}\left(x\right)} \ dx}=\integral_{}^{}{ \bruch{\cos\left(x\right)*\cos^{4}\left(x\right)}{\sin^{4}\left(x\right)} \ dx}=\integral_{}^{}{ \bruch{\cos\left(x\right)*\left(1-\sin^{2}\left(x\right)\right)^{2}}{\sin^{4}\left(x\right)} \ dx}[/mm]
Wende jetzt die Substitution [mm]t=\sin\left(x\right)[/mm] an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
ah okay ;)kapiert
t= sin(x)
dt= cos(x) dx
[mm] \integral \frac{dt*(1-t^2)^2}{t^4} [/mm] = [mm] \integral \frac{1-2t^2+t^4}{t^4} [/mm] dt
= [mm] -\frac{1}{3t^3}+\frac{2}{t}+t
[/mm]
Un jetzt muss ich resubstituieren
= [mm] -\frac{1}{3sin^3(x)}+\frac{2}{sin(x)}+sin(x)+c
[/mm]
Passt es so?
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Hallo sissile,
> ah okay ;)kapiert
>
> t= sin(x)
> dt= cos(x) dx
>
> [mm]\integral \frac{dt*(1-t^2)^2}{t^4}[/mm] = [mm]\integral \frac{1-2t^2+t^4}{t^4}[/mm]
> dt
> = [mm]-\frac{1}{3t^3}+\frac{2}{t}+t[/mm]
> Un jetzt muss ich resubstituieren
> = [mm]-\frac{1}{3sin^3(x)}+\frac{2}{sin(x)}+sin(x)+c[/mm]
>
> Passt es so?
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank,
lg
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