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| Aufgabe | Man löse die Interpolationsaufgabe $ [mm] p(x_i)=f_i, [/mm] i = 1,2 $
für ein Polynom der Gestalt $ [mm] p(x)=a_0 [/mm] + [mm] a_1 x^3 [/mm] $ und gebe eine Bedingung für die eindeutige Lösbarkeit dieser Aufgabe an. |
Hi,
$ [mm] p(x_i)=f_i [/mm] , i=1,2 $
$ [mm] p(x)=a_0+a_1*x^3 [/mm] $
$ [mm] p(x_1)=f_1=a_0+a_1*x_1^3 [/mm] $
$ [mm] p(x_2)=f_2=a_0+a_1*x_2^3 [/mm] $
$ [mm] (1)f_1=a_0+a_1*x_1^3 [/mm] $
$ [mm] (2)f_2=a_0+a_1*x_2^3 [/mm] $
Wir berechnen [mm] a_1:
[/mm]
$ [mm] (1)-(2)=f_1-f_2=a_1*x_1^3-a_1*x_2^3 [/mm] $
=$ [mm] f_1-f_2 [/mm] $=$ [mm] a_1(x_1^3-x_2^3)$
[/mm]
-> [mm] $a_1=\bruch{(f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3)} [/mm] $
[mm] a_1 [/mm] ist abhängig von [mm] f_1, f_2, x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
Wir berechnen [mm] a_0:
[/mm]
$ (1) [mm] f_1=a_0+a_1*x_1^3 [/mm] $
$ [mm] a_0= f_1-a_1*x_1^3 [/mm] $
=> $ [mm] a_0 [/mm] $ = $ [mm] f_1-\bruch{((f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3))}*x_1^3 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(f_1*x_2^3 - f_2*x_1^3)}{(x_2^3 - x_1^3)} [/mm] $
insgesamt also:
$ [mm] a_0 [/mm] $ =$ [mm] \bruch{(f_1*x_2^3 - f_2*x_1^3)}{(x_2^3 - x_1^3)} [/mm] $
$ [mm] a_1 [/mm] $ =$ [mm] \bruch{(f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3)} [/mm] $
und natürlich [mm] x_1 [/mm] ist ungleich [mm] x_2
[/mm]
wäre das richtig bis jetzt oder hab ich irgendwas falsch gemacht?
LG
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> Man löse die Interpolationsaufgabe [mm]p(x_i)=f_i, i = 1,2[/mm]
>
> für ein Polynom der Gestalt [mm]p(x)=a_0 + a_1 x^3[/mm] und gebe
> eine Bedingung für die eindeutige Lösbarkeit dieser
> Aufgabe an.
> Hi,
> [mm]p(x_i)=f_i , i=1,2[/mm]
> [mm]p(x)=a_0+a_1*x^3[/mm]
> [mm]p(x_1)=f_1=a_0+a_1*x_1^3[/mm]
> [mm]p(x_2)=f_2=a_0+a_1*x_2^3[/mm]
>
> [mm](1)f_1=a_0+a_1*x_1^3[/mm]
> [mm](2)f_2=a_0+a_1*x_2^3[/mm]
>
> Wir berechnen [mm]a_1:[/mm]
>
> [mm](1)-(2)=f_1-f_2=a_1*x_1^3-a_1*x_2^3[/mm]
> =[mm] f_1-f_2 [/mm]=[mm] a_1(x_1^3-x_2^3)[/mm]
> ->
> [mm]a_1=\bruch{(f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3)}[/mm]
>
> [mm]a_1[/mm] ist abhängig von [mm]f_1, f_2, x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
>
> Wir berechnen [mm]a_0:[/mm]
>
> [mm](1) f_1=a_0+a_1*x_1^3[/mm]
> [mm]a_0= f_1-a_1*x_1^3[/mm]
>
> => [mm]a_0[/mm] = [mm]f_1-\bruch{((f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3))}*x_1^3[/mm]
> [mm]\ =\ \bruch{(f_1*x_2^3 - f_2*x_1^3)}{(x_2^3 - x_1^3)}[/mm] (***)
> insgesamt also:
>
> [mm]a_0[/mm] =[mm] \bruch{(f_1*x_2^3 - f_2*x_1^3)}{(x_2^3 - x_1^3)}[/mm]
>
> [mm]a_1[/mm] =[mm] \bruch{(f_1-f_2)}{(x_1^3-x_2^3)}[/mm]
>
> und natürlich [mm]x_1[/mm] ist ungleich [mm]x_2[/mm]
>
> wäre das richtig bis jetzt oder hab ich irgendwas falsch
> gemacht?
Hallo Striker
Soweit ich sehe, passt dies alles. An einer Stelle
(mit *** markiert) musste ich allerdings zweimal
nachrechnen ... Zur Sicherheit habe ich auch ein
Beispiel durchgerechnet. Dies könnte ich dir für
weitere Aufgaben auch sehr empfehlen. Ein richtiges
Ergebnis bestärkt einen manchmal sehr im
Bewusstsein, es "richtig" gemacht zu haben.
Am Schluss solltest du nicht einfach hinschreiben
" und natürlich [mm]x_1[/mm] ist ungleich [mm]x_2[/mm] "
sondern diese Ungleichheit ist gerade die Bedingung, die
für die eindeutige Lösbarkeit verlangt werden muss und
dann auch hinreichend ist. Diese Feststellung und eine
kurze Begründung dazu sind Teil der Lösung der Aufgabe.
LG , Al-Chw.
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Guten abend,
danke für deine Antwort.
Ja ich weiß ich ändere ja den letzten Satz noch,
aber ich verstehe nicht was du mit (***) meinst?
und noch eine kurze Frage,
da $ [mm] x_1 \ne x_2 [/mm] $ gilt, existiert immer genau eine Lösung. richtig?
LG
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> Guten abend,
> danke für deine Antwort.
> Ja ich weiß ich ändere ja den letzten Satz noch,
> aber ich verstehe nicht was du mit (***) meinst?
Das ist nur eine Markierung der Stelle, wo ich zuerst
einen Fehler vermutet hatte und erst dann bemerkte,
dass doch alles ok ist.
> und noch eine kurze Frage,
>
> da [mm]x_1 \ne x_2[/mm] gilt, existiert immer genau eine Lösung.
> richtig?
Dass [mm]x_1 \ne x_2[/mm] gilt, war ja nicht vorgegeben (!),
also muss man es verlangen.
Zu zeigen, dass im Falle [mm]x_1 \ne x_2[/mm] wirklich
eine und nur eine Lösungsfunktion existiert, ist
leicht, sollte aber doch wenigstens kurz begründet
werden für eine komplette Lösung der Aufgabe.
Für den Fall, dass [mm] x_1=x_2 [/mm] ist, könnte man noch
(ev. durch Beispiele) zeigen, dass dann entweder
gar keine oder aber sicher keine eindeutige Lösung
existiert.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
ich überlege zwar gerade, wie ich das begründen kann. Aber mir fällt nur ein, dass
$ [mm] x_1 \ne x_2 [/mm] $ doch gelten muss, da denn sonst der Nenner Null werden würde :S
aber das scheint mir doch ein bisschen zu wackelig zu sein :S
LG
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> Hallo,
>
> ich überlege zwar gerade, wie ich das begründen kann.
> Aber mir fällt nur ein, dass
> [mm]x_1 \ne x_2[/mm] doch gelten muss, da denn sonst der Nenner
> Null werden würde :S
Na eben, das ist mal der ganz formale Grund, weil
dann die Berechnungsformeln versagen würden.
Man kann sich das Ganze aber noch etwas klarer
machen. Etwa an diesen Beispielen:
1) [mm] P_1(3|1) [/mm] und [mm] P_2(3|5)
[/mm]
Da ein Funktionsgraph zu einem x-Wert wie x=3 nur
einen bestimmten y-Wert haben kann, gibt es hier
offenbar gar kein passendes kubisches Polynom.
1) [mm] P_1(3|5) [/mm] und [mm] P_2(3|5)
[/mm]
Hier sind die beiden Punkte sogar identisch. Natürlich
gibt es jetzt kubische Funktionen, deren Graph durch
diesen Punkt verläuft. Allerdings gibt es jetzt nicht nur
eine bestimmte, sondern unendlich viele Lösungen.
Man könnte z.B. einen Wert für [mm] a_1 [/mm] frei wählen und
dann dazu den passenden Wert von [mm] a_0 [/mm] berechnen:
$\ [mm] a_0\ [/mm] :=\ [mm] f_1-a_1\cdot{}x_1^3 [/mm] $
Dass die Formeln mit den Nullen im Nenner hier
versagen, hat keinen Einfluss auf die Existenz
dieser unendlich vielen Lösungen. Aber eben:
die Eindeutigkeit ist weg !
LG , Al-Chw.
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