Interpolationsfehler < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 So 03.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
[mm] $p_n(x)$ [/mm] sei ein Polynom vom Grade $n$, welches die Funktion $f$ in den Punkten [mm] $(x_j, f(x_j)), [/mm] j=0,1,...,n$ interpoliere.
Die Punkte seien wie folgt verteilt: $a [mm] \le x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n \le [/mm] b$.
Man sucht nun den Interpolationsfehler zwischen den Stützstellen, sprich $ [mm] \varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)$ [/mm] für ein $z [mm] \in [/mm] [a,b], z [mm] \not= x_i, [/mm] i=0,1,...,n$.
Man setzt nun [mm] $z:=x_{n+1}$ [/mm] und versteht darunter eine zusätzliche, beliebige, aber feste Stützstelle.
Man hat dann ein Polynom [mm] $p_{n+1}$ [/mm] $n+1$-ten Grades, welches $f$ in den Daten [mm] $x_0,x_1,...,x_n,z$ [/mm] interpoliere.
Warum ist dann nun [mm] $f(z)=p_{n+1}(z)$?
[/mm]
Mann kann nun so weitergehen:
$ [mm] \varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)=p_{n+1}(z)-p_n(z)= \summe_{j=0}^{n+1}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v) [/mm] - [mm] \summe_{j=0}^{n}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v)=c_{n+1} \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)$ $=f[x_0,x_1,...,x_n,z] \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)$.
[/mm]
Bin ich noch richtig? 
Danke und viele Grüße,
Regine.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Regine,
> [mm]p_n(x)[/mm] sei ein Polynom vom Grade [mm]n[/mm], welches die Funktion [mm]f[/mm]
> in den Punkten [mm](x_j, f(x_j)), j=0,1,...,n[/mm] interpoliere.
>
> Die Punkte seien wie folgt verteilt: [mm]a \le x_0 < x_1 < ... < x_n \le b[/mm].
>
>
> Man sucht nun den Interpolationsfehler zwischen den
> Stützstellen, sprich [mm]\varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)[/mm] für ein [mm]z \in [a,b], z \not= x_i, i=0,1,...,n[/mm].
>
>
> Man setzt nun [mm]z:=x_{n+1}[/mm] und versteht darunter eine
> zusätzliche, beliebige, aber feste Stützstelle.
>
> Man hat dann ein Polynom [mm]p_{n+1}[/mm] [mm]n+1[/mm]-ten Grades, welches [mm]f[/mm]
> in den Daten [mm]x_0,x_1,...,x_n,z[/mm] interpoliere.
>
> Warum ist dann nun [mm]f(z)=p_{n+1}(z)[/mm]?
Wenn [mm] p_{n+1} [/mm] ein Polynom ist, das die Daten [mm] (x_0,f(x_0)),\ldots,(x_n,f(x_n)),(z,f(z)) [/mm] interpoliert, dann ist das doch klar.
> Mann kann nun so weitergehen:
>
> [mm]\varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)=p_{n+1}(z)-p_n(z)= \summe_{j=0}^{n+1}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v) - \summe_{j=0}^{n}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v)=c_{n+1} \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)[/mm]
Kann man denn davon ausgehen, dass die Koeffizienten von [mm] p_n [/mm] und [mm] p_{n+1} [/mm] identisch sind?
Woher kommt denn die Darstellung [mm] $p_{n+1}(z)=\summe_{j=0}^{n+1}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v)$? [/mm] (Sie ist möglich, ich kenne sie einfach nur nicht, was aber nichts heißt; wahrscheinlich ist es eine sehr bekannte Darstellung... )
> [mm]=f[x_0,x_1,...,x_n,z] \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)[/mm].
>
> Bin ich noch richtig?
Keine Ahnung, ich lasse die Frage mal offen, da ich mich nicht damit auskenne bzw. mir zuviel unklar ist.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mo 04.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo Marc,
> Hallo Regine,
>
> > [mm]p_n(x)[/mm] sei ein Polynom vom Grade [mm]n[/mm], welches die Funktion [mm]f[/mm]
> > in den Punkten [mm](x_j, f(x_j)), j=0,1,...,n[/mm] interpoliere.
> >
> > Die Punkte seien wie folgt verteilt: [mm]a \le x_0 < x_1 < ... < x_n \le b[/mm].
> >
> > Man sucht nun den Interpolationsfehler zwischen den
> > Stützstellen, sprich [mm]\varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)[/mm] für ein [mm]z \in [a,b], z \not= x_i, i=0,1,...,n[/mm].
> >
> > Man setzt nun [mm]z:=x_{n+1}[/mm] und versteht darunter eine
> > zusätzliche, beliebige, aber feste Stützstelle.
> >
> > Man hat dann ein Polynom [mm]p_{n+1}[/mm] [mm]n+1[/mm]-ten Grades, welches [mm]f[/mm]
> > in den Daten [mm]x_0,x_1,...,x_n,z[/mm] interpoliere.
> >
> > Warum ist dann nun [mm]f(z)=p_{n+1}(z)[/mm]?
Ja klar... Ich hatte mir selber die Antwort gegeben, ohne es zu merken. Das Thema ist mir einfach noch zu fern...
>
> Wenn [mm]p_{n+1}[/mm] ein Polynom ist, das die Daten [mm](x_0,f(x_0)),\ldots,(x_n,f(x_n)),(z,f(z))[/mm] interpoliert,
> dann ist das doch klar.
>
> > Mann kann nun so weitergehen:
> >
> > [mm]\varepsilon(z)=f(z)-p_n(z)=p_{n+1}(z)-p_n(z)= \summe_{j=0}^{n+1}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v) - \summe_{j=0}^{n}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v)=c_{n+1} \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)[/mm]
>
>
> Kann man denn davon ausgehen, dass die Koeffizienten von [mm]p_n[/mm] und [mm]p_{n+1}[/mm] identisch sind?
Ich hoffe es...
>
> Woher kommt denn die Darstellung [mm]p_{n+1}(z)=\summe_{j=0}^{n+1}c_j \prod_{v=0}^{j-1} (z-x_v)[/mm]?
> (Sie ist möglich, ich kenne sie einfach nur nicht, was aber nichts heißt; wahrscheinlich ist es eine sehr bekannte
> Darstellung... )
Das ist die Newton-Darstellung eines Interpolationspolynoms.
>
> > [mm]=f[x_0,x_1,...,x_n,z] \prod_{v=0}^{n} (z-x_v)[/mm].
> >
> > Bin ich noch richtig?
>
> Keine Ahnung, ich lasse die Frage mal offen, da ich mich
> nicht damit auskenne bzw. mir zuviel unklar ist.
>
> Viele Grüße,
> Marc
>
Soweit danke,
Regine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Ich habe mir den entsprechenden Paragraphen jetzt mal im "Hämmerlin-Hoffmann" ("Numerische Mathematik", Springer-Verlag) durchgelesen.
Du hast alles richtig gemacht.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Do 07.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ist das Buch, welches Du nennst, gut zur Erarbeitung numerischer Zusammenhänge zu gebrauchen?
Danke und viele Grüße,
Regine.
|
|
|
|
