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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 10.03.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | 1.a) Sei [mm] f(x)=2cos(\pi(x-1)/2) [/mm] und p das Interpolationspolynom 2. Grades, das mit f an den Stellen x=0,1,2 übereinstimmt. Bestimme die Fehlerschranke für |f(x)-p(x)| für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2. Zeichne die Grafik f(x) und p(x) und in einer zweiten Grafik die Fehlerschranke und den tatsächlichen Fehler.
1.b) Bestimme die stückweise quadratische Funktion durch folgende Punkte:
i: 0,1,2,3,4,5,6
[mm] x_{i}:0,0.5,1,1.5,2,2.5,3
[/mm]
[mm] y_{i}:0,-4,-2,1,-1,-4,-1
[/mm]
Die Teilintervalle sollen [0,1],[1,2] und [2,3] sein. Zeichne die Funktion und berechne eine Fehlerschranke auf dem Intervall [0,3] unter der Annahme, dass [mm] |y'''(z)|\le4 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 gilt. |
Nun für Aufgabe 1a:
Wir haben:
[mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=2
[/mm]
[mm] y_{0}=1.99
[/mm]
[mm] y_{1}=2
[/mm]
[mm] y_{2}=1.99
[/mm]
Fehlerschranke für |f(x)-p(x)| für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
Definition der Fehlerschranke:
Sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] (n+1)-mal stetig differenzierbar und p(x) das Interpolationspolynom vom Grad n durch [mm] (x_{i},y_{i})^{n}_{i=0}, [/mm] wobei [mm] y_{i}=f(x_{i}) [/mm] und a < [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] < b ist. Dann gilt für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]: [mm] \exists \varepsilon \in [/mm] ]a,b[ so dass,
[mm] f(x)-p(x)=(x-x_{0})*...*(x-x_{n}) \bruch{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}
[/mm]
Was muss ich denn jetzt tun? Verstehe es nicht ganz... Und wie wende ich die Formel an?
Zu 1b. habe ich leider überhaupt keine Ideen. Ich weiss nur, dass die Stützstellen bekannt sind, aber was ich dafür tun muss und wieso ich die drite Ableitung von y benutzen muss, ist mir ziemlich unklar.
Vielen Dank für die Mühe und Ideen.
mfg :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 10.03.2012 | | Autor: | unibasel |
Kann mir denn niemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wie kommst du auf die eigenartigen Funktionswerte ° jast di etwa in Grad statt rad gerechnet? nur y(1) ist richtig
2. eine parabe durch 3 Punkte zu bestimmen sollte dir gelingen.
3. einfach n=2 in deine Fehlerformel einsetzen.
die zweite Aufgabe verlangt 3 Parabeln.
die dritte Ableitung brauchst du für die Fehlerabschätzung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 10.03.2012 | | Autor: | unibasel |
> Hallo
> 1.wie kommst du auf die eigenartigen Funktionswerte °
> jast di etwa in Grad statt rad gerechnet? nur y(1) ist
> richtig
Ich habe jeweils [mm] x_{0},x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in die y-Werte mit Hilfe der Formel eingesetzt? Stimmt dies nicht?
> 2. eine parabe durch 3 Punkte zu bestimmen sollte dir
> gelingen.
Wie bestimme ich denn die Parabel? Was muss ich tun? Ich verstehe das nicht... Tut mir wirklich leid.
> 3. einfach n=2 in deine Fehlerformel einsetzen.
> die zweite Aufgabe verlangt 3 Parabeln.
> die dritte Ableitung brauchst du für die
> Fehlerabschätzung.
> Gruss leduart
Danke für die Antwort, leider ist es zu ungenau für mich, ich kann nicht viel damit anfangen. Tut mir echt leid.
mfg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 11.03.2012 | | Autor: | unibasel |
Also habe es nun verbessert:
[mm] y_{0}=0
[/mm]
[mm] y_{1}=2
[/mm]
[mm] y_{2}=2
[/mm]
Das Interpolationspolynom wäre also: [mm] x^{2}-2x
[/mm]
Die Fehlerschranke habe ich noch nicht, da ich nicht weiss wie ich was in diese Formel einsetzen muss.
Zu Aufgabe 1.b:
Durch welche Punkte muss ich die Parabel finden?
Es steht ja in den drei Intervallen, demnach durch welche Punkte?
Und die Fehlerschranke habe ich wieder nicht.
Danke im Vorraus.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 11.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also habe es nun verbessert:
> [mm]y_{0}=0[/mm]
> [mm]y_{1}=2[/mm]
> [mm]y_{2}=2[/mm]
y(2) ist falsch
> Das Interpolationspolynom wäre also: [mm]x^{2}-2x[/mm]
auch mit deinen Werten falsch : einfache Probe ergibt:
p(1)=1-2=-1 und nicht 2.
> Die Fehlerschranke habe ich noch nicht, da ich nicht weiss
> wie ich was in diese Formel einsetzen muss.
du kennst die 3 Punkte, was fehlt dir?
> Zu Aufgabe 1.b:
Intervall 1 : 9, 0.5, 1
Intervall 2 : 1,1.5, 2
irgendwie musst du das doch sehen?
Du schreibst Mathestud im Hauptstudium?
das versteh ich nicht?
> Durch welche Punkte muss ich die Parabel finden?
> Es steht ja in den drei Intervallen, demnach durch welche
> Punkte?
in jeddem Intervall eine neue Parabel
> Und die Fehlerschranke habe ich wieder nicht.
dann probier mal!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 So 11.03.2012 | | Autor: | unibasel |
sorry ich meinte [mm] y_{2}=0
[/mm]
> Hallo
> > Also habe es nun verbessert:
> > [mm]y_{0}=0[/mm]
> > [mm]y_{1}=2[/mm]
> > [mm]y_{2}=2[/mm]
> y(2) ist falsch
> > Das Interpolationspolynom wäre also: [mm]x^{2}-2x[/mm]
> auch mit deinen Werten falsch : einfache Probe ergibt:
> p(1)=1-2=-1 und nicht 2.
> > Die Fehlerschranke habe ich noch nicht, da ich nicht weiss
> > wie ich was in diese Formel einsetzen muss.
> du kennst die 3 Punkte, was fehlt dir?
Ja habe es verstanden, danke!
> > Zu Aufgabe 1.b:
> Intervall 1 : 9, 0.5, 1
> Intervall 2 : 1,1.5, 2
> irgendwie musst du das doch sehen?
> Du schreibst Mathestud im Hauptstudium?
> das versteh ich nicht?
Ich habe auch gerade vor kurzem angefangen und habe Mathematik nie als Schwerpunktfach gehabt, was kann man daran nicht verstehen? Ja, ich muss vieles nachholen, aber ich will es trotzdem versuchen und es verstehen!
> > Durch welche Punkte muss ich die Parabel finden?
> > Es steht ja in den drei Intervallen, demnach durch
> welche
> > Punkte?
> in jeddem Intervall eine neue Parabel
Ja ich probiere es, danke!
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