Interpolierendes Polynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo Zusammen,
ich habe ein Aufgabenblatt und kann mir nun beim besten Willen nichts unter einer Aufgabe vorstellen. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee, wie man an so einen Aufgabentyp herangeht?
Die Aufgabe lautet:
Seien [mm]G=span {(1/(x+1)), (1/(x-1))} [/mm] und Knoten [mm] -1
(DAZU: Was bedeutet denn diese Schreibweise???)
Zeigen Sie, dass es für jede Wahl von [mm]y_0, y_1\in \IR[/mm]
genau ein [mm]g\inG [/mm] gibt, so dass gilt:
[mm] g(x_i)=y_i i= 0, 1 [/mm]
Ich bin riesig dankbar für jeden kleinen Tipp, weil ich buchstäblich NULL Ahnung habe und nicht weiß, wo ich im Skript ansetzen soll.
Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe - im Voraus *hoffentlich*
Eva
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 18.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Eva!
> ich habe ein Aufgabenblatt und kann mir nun beim besten
> Willen nichts unter einer Aufgabe vorstellen. Vielleicht
> hat jemand von euch eine Idee, wie man an so einen
> Aufgabentyp herangeht?
>
> Die Aufgabe lautet:
>
> Seien [mm]G=span {(1/(x+1)), (1/(x-1))}[/mm] und Knoten
> [mm]-1
>
> (DAZU: Was bedeutet denn diese Schreibweise???)
G=span {(1/(x+1)), (1/(x-1))} bedeutet, daß G der von diesen beiden Funktionen aufgespannte Vektorraum ist, also die Menge aller Linearkombinationen.
Knoten [mm]-1
> Zeigen Sie, dass es für jede Wahl von [mm]y_0, y_1\in \IR[/mm]
>
> genau ein [mm]g\inG[/mm] gibt, so dass gilt:
>
> [mm]g(x_i)=y_i i= 0, 1[/mm]
Jetzt kann ich mir an den Knoten beliebige Funktionswerte vorgeben und dann die Koeffizienten der beiden Erzeugenden immer so bestimmen, daß alles paßt.
> Ich bin riesig dankbar für jeden kleinen Tipp, weil ich
> buchstäblich NULL Ahnung habe und nicht weiß, wo ich im
> Skript ansetzen soll.
Jetzt etwas klarer? Sonst dranbleiben!
Gruß aus dem kalten HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 So 20.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo Dieter,
ganz ganz vielen Dank für die Antwort schon mal!!!
Okay, ein bisschen klarer ist es nun, ich habe auch versucht eine Antwort im Skript zu finden, war aber etwas schwierig, es ist nicht sehr umfassend!!! - Span habe ich verstanden!!!
Trotzdem noch einige Fragen und später dann hoffentlich frage ich mal nach, ob mein Ansatz stimmt, wenn ich den fertig habe.
Frage:
Ich darf beliebige Punkte auswählen?
Also in etwa: [mm] g(x_i) [/mm] = [mm] y_i [/mm] mit i=0,1
Also darf ich erst mal 0 und eins einsetzen?
Mit dass alles passt, heißt dann wohl, dass die Punkte zwischen -1 und 1 liegen, oder habe ich das falsch verstanden?
Wenn was falsch ist, bitte sofort korrigieren 
meine x dürfe nur im Rahmen von -1 und 1 sein?
g(x) sind meinen beiden Funktionen in Span?
Also darf ich dorthinein nur die Zahlen -1 bis 1 einsetzen, aber nur so, dass [mm] y_0 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] heraus kommen???
Und [mm] y_0 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] entnehme ich aus der Funktion (bzw. der beiden Funktionen)???
Mal gucken, ob ich so vorgehen könnt!!!
Danke nochmals.
Viele Grüße aus dem auch kalten Baden-Württemberg.
Eva
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mo 21.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Eva!
Hier geht es übrigens nicht um Polynome
> ganz ganz vielen Dank für die Antwort schon mal!!!
> Okay, ein bisschen klarer ist es nun, ich habe auch
> versucht eine Antwort im Skript zu finden, war aber etwas
> schwierig, es ist nicht sehr umfassend!!! - Span habe ich
> verstanden!!!
>
> Trotzdem noch einige Fragen und später dann hoffentlich
> frage ich mal nach, ob mein Ansatz stimmt, wenn ich den
> fertig habe.
> Frage:
>
> Ich darf beliebige Punkte auswählen?
Du mußt beliebige Punkte auswählen! Ein Beweis muß ja allgemeine Gültigkeit haben.
> Also in etwa: [mm]g(x_i)[/mm] = [mm]y_i[/mm] mit i=0,1
Ja, und [mm] g(x_i) [/mm] = [mm] \bruch{a}{x_i + 1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x_i - 1}
[/mm]
also kriegst du 2 Gleichungen für die reellen Zahlen a und b. Zeigen mußt du jetzt, daß dieses Gl.-system lösbar ist.
> Also darf ich erst mal 0 und eins einsetzen?
Nee, geht auch nicht, da dann ein Nenner 0 wird!
> meine x dürfe nur im Rahmen von -1 und 1 sein?
Ja, das ist in der Aufgabe so eingeschränkt.
> g(x) sind meinen beiden Funktionen in Span?
Nein, g(x) ist eine beliebege Funktion in span!
> Also darf ich dorthinein nur die Zahlen -1 bis 1 einsetzen,
> aber nur so, dass [mm]y_0[/mm] und [mm]y_1[/mm] heraus kommen???
>
> Und [mm]y_0[/mm] und [mm]y_1[/mm] entnehme ich aus der Funktion (bzw. der
> beiden Funktionen)???
Ich glaube, du blickst da noch nicht völlig durch, mach doch erst einmal ein Beispiel mit konkreten x'en und y's und mal das Ergebnis in ein Koord.-system.
> Mal gucken, ob ich so vorgehen könnt!!!
Gruß aus dem hohen Norden
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Stimmt, habe noch nicht GANZ durchgeblickt, aber ich werde jetzt gleich mal versuchen, das für bestimmte x zu machen!
Schreibe dann meine Lösung...???
Falls mir eine gelingt!!!
Danke und Grüße von Eva
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo Dieter!
HAbe nun folgendes bekommen:
für x=2 und y=3
folgt dass [mm] g(x)= a/(x+1) + b/(x-1) [/mm]
bekommt heraus [mm] (1/3)*a +b [/mm]
und [mm] g(y)= a/(y+1) + b/(y-1) [/mm]
bekommt heraus [mm] (1/4)*a + (1/2)*b [/mm]
Das GS löse ich dann mit der Matrix und erhalte:
[mm]
\pmat{ a & 3b \\ a & 2b }
-> \pmat{ a & 0 \\ 0 & -b } [/mm]
Das wird mich nicht viel weiterbringen - glaube ich, da ich ja gar kein Ergebis (bzw. 3 Spalte) für mein Gleichungssystem hatte. Das war etwas leichtsinnig von mir.
Ich überleg nochmal, aber mir fehlt irgendwie das Aha -Erlebnis
... Stimmt von Polynom steht nichts in meiner Aufgabe...
Ich sollte das vielleicht umbenennen!
Viele Grüße Eva
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Also nach einigem Nachdenken:
ich habe
[mm]y_0= a*1/((x_0)+1)+b*1/((x_0)-1)[/mm]
[mm] y_1= a*1/((x_1)+1)+b*1/((x_1)-1)[/mm]
also habe ich ein allgemeines Gleichungssystem
welches ich zu lösen habe.
Fortsetzung folgt!
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Di 22.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Eva!
> Also nach einigem Nachdenken:
Das hat noch nie geschadet.
> ich habe
> [mm]y_0= a*1/((x_0)+1)+b*1/((x_0)-1)[/mm]
>
>
> [mm]y_1= a*1/((x_1)+1)+b*1/((x_1)-1)[/mm]
>
> also habe ich ein allgemeines Gleichungssystem
> welches ich zu lösen habe.
Ebend, mein Reden...
> Fortsetzung folgt!
Darauf freuen wir uns schon alle..
Gruß aus dem eiskalten HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 22.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallölle,
irgendwie stecke ich fest und komme nicht weiter,
obwohl das wohl eher ein "triviales" Problem ist???
Also [mm]y_0= a/((x_0)+1) + b/((x_0)-1)[/mm]
und [mm]y_1= a/((x_1)+1) + b/((x_1)-1)[/mm]
habe ich erst einmal auf den Hauptnenner gebracht, allerdings
komme ich dann nicht weiter, da ich dann ja 4 Unbekannte - also [mm] y_0,y_1, x_0, y_1 [/mm] aber nur 2 Gleichungen. Dann wäre das Gleichungssystem aber gar nicht eindeutig lösbar.
Da dies aber gezeigt werden muss...
Bin ich äußerst ratlos!!!!!!!!
Gibt es einen Trick oder habe ich irgendwas falsch gemacht?
Vielen Dank und liebe Grüße Eva
PS: Tut mir leid, dass ich ständig nachfragen muss - sieht ja sehr unselbstständig aus!!! :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 23.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Eva!
> irgendwie stecke ich fest und komme nicht weiter,
> obwohl das wohl eher ein "triviales" Problem ist???
>
> Also [mm]y_0= a/((x_0)+1) + b/((x_0)-1)[/mm]
>
> und [mm]y_1= a/((x_1)+1) + b/((x_1)-1)[/mm]
>
> habe ich erst einmal auf den Hauptnenner gebracht,
> allerdings
> komme ich dann nicht weiter, da ich dann ja 4 Unbekannte -
> also [mm]y_0,y_1, x_0, y_1[/mm] aber nur 2 Gleichungen. Dann wäre
> das Gleichungssystem aber gar nicht eindeutig lösbar.
> Da dies aber gezeigt werden muss...
> Bin ich äußerst ratlos!!!!!!!!
Du hast ja uns! Die Unbekannten sind doch nicht die Icks und Üpsilons, sondern a und b! Mach doch bitte bitte einfach mal ein konkretes Beispiel,
[mm] y_0 [/mm] = 3, [mm] y_1 [/mm] = -2, [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] oder so... und jetzt rechne alles aus und zeichne alles in ein Koord.-system.
> Gibt es einen Trick oder habe ich irgendwas falsch
> gemacht?
Das Bild ist der Trick.
> Vielen Dank und liebe Grüße Eva
Da nich für, wie man in Hamburg sagt.
Auch LG Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallölle,
irgendwie stecke ich fest und komme nicht weiter,
obwohl das wohl eher ein "triviales" Problem ist???
Also [mm]y_0= a/(x_0)+1 + b/(x_0)-1[/mm]
und [mm]y_1= a/(x_1)+1 + b/(x_1)-1[/mm]
habe ich erst einmal auf den Hauptnenner gebracht, allerdings
komme ich dann nicht weiter, da ich dann ja 4 Unbekannte - also [mm] y_0,y_1, x_0, y_1 [/mm] aber nur 2 Gleichungen. Dann wäre das Gleichungssystem aber gar nicht eindeutig lösbar.
Da dies aber gezeigt werden muss...
Bin ich äußerst ratlos!!!!!!!!
Gibt es einen Trick oder habe ich irgendwas falsch gemacht?
Vielen Dank und liebe Grüße Eva
PS: Tut mir leid, dass ich ständig nachfragen muss - sieht ja sehr unselbstständig aus!!! :-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sienna |
hallo dieter,
das ist aber wirklich freundlich, dass du mir so zuverlässig hilfst.
Leider musste ich mein Blatt schon abgeben, das ist halt immer blöd,
aber natürlich will ich jetzt schon noch wissen, wie es ausgeht:
jetzt habe ich das ausgerechnet für diese bestimmten Zahlen und bekam heraus:
[mm]a= -3 [/mm] und
[mm] b= - 15/4 [/mm]
Das b kommt mir komisch vor ich muss jetzt nur noch malen. Aber wollte schnell mal nachfrage, ob ich das richtig gemacht habe.
PS. OOps!!! Das wäre ja wirklich seltsam, wenn ich auf einmal 6 Unbekannte gehabt hätte, nur kann ich mir das schwer vorstellen - vorm Auge - da [mm] x_o [/mm] etc ja keine "richtigen Zahlen" sind...
Vielen Dank nochmal. Grüße Eva
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 23.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Eva!,
>
> das ist aber wirklich freundlich, dass du mir so
> zuverlässig hilfst.
> Leider musste ich mein Blatt schon abgeben, das ist halt
> immer blöd,
> aber natürlich will ich jetzt schon noch wissen, wie es
> ausgeht:
>
> jetzt habe ich das ausgerechnet für diese bestimmten Zahlen
> und bekam heraus:
>
> [mm]a= -3[/mm] und
> [mm]b= - 15/4[/mm]
Ich habe andere Zahlen, a = -27/16 und b = -33/16, aber das kann auch ein Rechenfehler sein! Mach mal eine Probe!
> Das b kommt mir komisch vor ich muss jetzt nur noch malen.
> Aber wollte schnell mal nachfrage, ob ich das richtig
> gemacht habe.
>
> PS. OOps!!! Das wäre ja wirklich seltsam, wenn ich auf
> einmal 6 Unbekannte gehabt hätte, nur kann ich mir das
> schwer vorstellen - vorm Auge - da [mm]x_o[/mm] etc ja keine
> "richtigen Zahlen" sind...
Ebend!
Gruß aus dem hohen Norden
Dieter
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Hallo Sienna,
Hier möchte ich mal noch einen Weg angeben.
> Also nach einigem Nachdenken:
>
> ich habe
> [mm]y_0= a*1/((x_0)+1)+b*1/((x_0)-1)[/mm]
>
>
> [mm]y_1= a*1/((x_1)+1)+b*1/((x_1)-1)[/mm]
>
> also habe ich ein allgemeines Gleichungssystem
> welches ich zu lösen habe.
wie statler schon gesagt hat sind a und b die Unbekannten. Also ist es linear bzgl. a,b Dann kann man es in Matrixschreibweise bringen.
[mm] \vektor{y_0\\y_1}= \pmat{ \bruch{1}{x_0+1} & \bruch{1}{x_0-1} \\ \bruch{1}{x_1+1} & \bruch{1}{x_1-1} }\vektor{a\\b}
[/mm]
Dies ist lösbar wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo mathemaduenn und hallo Dieter,
wollte nur ganz schnell Bescheid sagen, dass ich dann am Mittwoch noch den Lösungsversuch mache, weil ich - wie das nun mal so ist - ein anderes Übungblatt habe, wo ich grade dran sitze!!!
Liebe Grüße und Danke für die Gedult, nichts ist Umsonst!!!
Sienna
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