Interpr. der linearen Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 25.01.2015 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | Die nachfolgenden 4 Vektoren a, b, c, d spannen einen linearen Teilraum M des [mm] \IR^{3} [/mm] auf (der auch als lineare Hülle von a, b, c, d bezeichnet wird):
M = L(a, b, c, d).
(a) Ist diese ganz [mm] \IR^{3} [/mm] eine Ebene, eine Gerade oder ein Punkt?
(b) Auf wieviele (und z.B. auch welche) dieser 4 Vektoren kann bei der Bildung der linearen Hülle verzichtet werden, ohne daß diese sich verändert?
a = [mm] \pmat{ 9 \\ -2 \\ 5 } [/mm] b = [mm] \pmat{ -12 \\ 4 \\ -4 } [/mm] c = [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 7 } [/mm] d = [mm] \pmat{ 12 \\ -6 \\ 0 } [/mm] |
a) [mm] \IR^{3} [/mm] ist eine Ebene.
b) Der kleinstmögliche Spann des linearen Teilraums M = L (a, b, c, d) ist eine Basis von M.
Beliebige Vektoren [mm] x^{1}, [/mm] ..., [mm] x^{d} [/mm] heißen eine Basis von M, wenn sie linear unabhängig sind.
Da wir 4 Vektoren im [mm] \IR^{3} [/mm] haben, sind diese auf jeden Fall linear abhängig.
Mit dem Austauschverfahren (s. Dateianhänge) komme ich auf das Ergebnis, dass auf zwei der vier Vektoren verzichtet werden kann.
L (a, b, c, d) = L (a, b, c) = L (b, c, d) = ... = L (a, b) = L (b, c) = ...
Sehe ich das richtig?
Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 25.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Die nachfolgenden 4 Vektoren a, b, c, d spannen einen
> linearen Teilraum M des [mm]\IR^{3}[/mm] auf (der auch als lineare
> Hülle von a, b, c, d bezeichnet wird):
>
> M = L(a, b, c, d).
>
> (a) Ist diese ganz [mm]\IR^{3}[/mm] eine Ebene, eine Gerade oder ein
> Punkt?
> (b) Auf wieviele (und z.B. auch welche) dieser 4 Vektoren
> kann bei der Bildung der linearen Hülle verzichtet werden,
> ohne daß diese sich verändert?
>
> a = [mm]\pmat{ 9 \\ -2 \\ 5 }[/mm] b = [mm]\pmat{ -12 \\ 4 \\ -4 }[/mm] c =
> [mm]\pmat{ 3 \\ 2 \\ 7 }[/mm] d = [mm]\pmat{ 12 \\ -6 \\ 0 }[/mm]
>
>
> a) [mm]\IR^{3}[/mm] ist eine Ebene.
Das stimmt so nicht, [mm] $\IR^{3}$ [/mm] ist der uns umgebende 3dimensionale Raum. Ein durchreisender Gast aus dem [mm] $\IR^{4}$ [/mm] würde das vielleicht als Ebene bezeichen.
>
> b) Der kleinstmögliche Spann des linearen Teilraums M = L
> (a, b, c, d) ist eine Basis von M.
Das ist in dieser Formulierung Murks, einen kleinstmöglichen Spann gibt es nicht.
>
> Beliebige Vektoren [mm]x^{1},[/mm] ..., [mm]x^{d}[/mm] heißen eine Basis von
> M, wenn sie linear unabhängig sind.
Das reicht nicht, sie müssen außerdem M ganz erzeugen.
>
> Da wir 4 Vektoren im [mm]\IR^{3}[/mm] haben, sind diese auf jeden
> Fall linear abhängig.
Das wiederum stimmt.
>
> Mit dem Austauschverfahren (s. Dateianhänge) komme ich auf
> das Ergebnis, dass auf zwei der vier Vektoren verzichtet
> werden kann.
>
> L (a, b, c, d) = L (a, b, c) = L (b, c, d) = ... = L (a, b)
> = L (b, c) = ...
Deine Anhänge habe ich nicht kontrolliert, aber es L(a, b, c, d) = L(c, d).
Was ist dann die richtige Antwort zu a)?
Gruß aus HH
Dieter
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