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| Aufgabe | | Es sei I ein beliebiges Intervall. Finden Sie eine Bijektion f : I [mm] \to \IR [/mm] |
Kann mir jemand zu der Aufgabe Tipps geben wie ich es mache bzw die Aufgabe mir so erklären das ich weiß was ich machen muss.
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> Es sei I ein beliebiges Intervall.
offen oder abgeschlossen?
> Finden Sie eine
> Bijektion f : I [mm]\to \IR[/mm]
> Kann mir jemand zu der Aufgabe
> Tipps geben wie ich es mache bzw die Aufgabe mir so
> erklären das ich weiß was ich machen muss.
1) Überlege dir, dass es genügt das Intervall [0,1] oder (0,1) zu betrachten.
2) Für ein offenes Intervall ist es schnell lösbar. Dafür betrachtet man eine geeignete trigonometrische Funktion.
3) Ist auch ein abgeschlossenes Intervall auf R bijektiv abzubilden, so verlangt es mehr Arbeit. Hier würde ich mit dem Logarithmus an deiner Stelle experimentieren. Da muss man wohl aber in der Funktion eine Fallunterscheidung machen.
4) Für die komischen Fälle, wie u.a. (0,1] würde ich mir eine Bijektion zwischen (0,1) und (0,1] überlegen.
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was ich noch nicht verstehe wie kann man überhaupt von einem Intervall auf Zahlen abbilden. Heißt das das ich eine Zahl aus dem Intervall hole und die dann einer Zahl in [mm] \IR [/mm] zuordne. Bzw wie schreibe ich das ganze Mathematisch.
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> was ich noch nicht verstehe wie kann man überhaupt von
> einem Intervall auf Zahlen abbilden. Heißt das das ich
> eine Zahl aus dem Intervall hole und die dann einer Zahl in
> [mm]\IR[/mm] zuordne.
Ja
> Bzw wie schreibe ich das ganze Mathematisch.
Du suchst eine bijektive Funktion [mm]f \colon I \to \IR[/mm].
Bsp.: Bijektion zwischen {1,2} und {4,5}. Dann ist [mm]f\colon \{1,2\}\to \{4,5\} [/mm] mit [mm]f(1)=4,f(2)=5[/mm] eine mögliche bijektive Funktion.
Welche Anforderung hat man den an f zu stellen, wenn f bijektiv sein soll?
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Für bijektiv muss man subjektiv und injektiv zeigen. Aber wenn ich ein Intervall hab und es auf den Zahlenraum [mm] \IR [/mm] abbilde, dann kann ich doch einfach die Identitätsabbildung holen.
zb [0,1] [mm] \to \IR [/mm] mit f(0) [mm] \mapsto [/mm] 0 , f(1) [mm] \mapsto [/mm] 1, f(1/2) [mm] \mapsto [/mm] 1/2 ... usw und dies ist auf jedenfall bijektiv
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> Für bijektiv muss man subjektiv und injektiv zeigen.
Genau!
> Aber
> wenn ich ein Intervall hab und es auf den Zahlenraum [mm]\IR[/mm]
> abbilde, dann kann ich doch einfach die
> Identitätsabbildung holen.
>
> zb [0,1] [mm]\to \IR[/mm] mit f(0) [mm]\mapsto[/mm] 0 , f(1) [mm]\mapsto[/mm] 1,
> f(1/2) [mm]\mapsto[/mm] 1/2 ... usw und dies ist auf jedenfall
> bijektiv
Nein!
[mm] $f\colon [0,1]\to [0,1],\; x\mapsto [/mm] x$ ist bijektiv
[mm] $f\colon [0,1]\to \IR,\; x\mapsto [/mm] x$ ist nicht surjektiv
Nehmen wir mal den einfachen Fall
ges.: [mm] $f\colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] bijektiv
Das Urbild von jeder reellen Zahl muss in (0,1) liegen. Du suchst also eine (injektive) Funktion, die beim zeichnen im Koordinatensystem auf der x-Achse nur zwischen 0 und 1 lebt, aber Funktionswerte zwischen [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] annimmt.
In der ersten Antwort habe ich deine Suche schon eingeschränkt.
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Für offenen Intervall: Also ich schätze das Tangens dies tut , besser gesagt : f(x)=tan(pi*x + pi/2), das er bijektiv ist nicht schwer zu zeigen.
Eine Bijektion von [0,1] auf [0,r] ist durch die Funktion f(x)=rx , das selbe gilt für offene Integralle.
Dann brächte ich noch 2 Bijektionen nämlich von offen zu geschlossenen Intervall und zu halboffenen Intervall
Ist das so richtig. wie finde ich den die letzten 2 bijektive Funktionen?
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> Für offenen Intervall: Also ich schätze das Tangens dies
> tut , besser gesagt : f(x)=tan(pi*x + pi/2), das er
> bijektiv ist nicht schwer zu zeigen.
>
> Eine Bijektion von [0,1] auf [0,r] ist durch die Funktion
> f(x)=rx , das selbe gilt für offene Integralle.
und verschieben kann man die Intervalle auch.
>
> Dann brächte ich noch 2 Bijektionen nämlich von offen zu
> geschlossenen Intervall und zu halboffenen Intervall
>
> Ist das so richtig. wie finde ich den die letzten 2
> bijektive Funktionen?
Hilft [mm]f(x)=\begin{cases} \ln x - \ln 0.5, & \textrm{fuer } x<0.5 \\
-\ln (1-x)+\ln 0.5, & \textrm{fuer } x >0.5 \end{cases}[/mm] dir weiter?
Ansonsten gibt es noch:
https://matheraum.de/read?i=807945
Oder:
Zu (0,1] -> (0,1)
Betrachte unendliche Folge [mm](x_k)_{k\geq 1}[/mm] von paarweise verschiedenen Zahlen aus (0,1) und setze [mm]x_0:=1[/mm]. Dann betrachte [mm]f(x_n)=x_{n+1}[/mm] für [mm]n\geq 0[/mm] und f(n)=n für [mm]n\in (0,1][/mm] und [mm]\neq x_i[/mm] für ein i und [mm]\neq 1[/mm]. Dann ist [mm]f\colon (0,1]\to (0,1]
)[/mm] bijektiv.
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Danke erstmal! Mir ist zwar klar das die angegebene ln Funktion genau die nötigen Bedingungen erfüllt, aber drauf wäre ich glaub ich nicht gekommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo blackjaguar,
> Danke erstmal! Mir ist zwar klar das die angegebene ln
> Funktion genau die nötigen Bedingungen erfüllt, aber
> drauf wäre ich glaub ich nicht gekommen.
ich weiß jetzt auch nicht, was genau ihr da definiert habt - da müßte
ich nochmal reingucken, zumal ich selbst dann nicht weiß, welche
Funktion Du hier meinst (zudem solltest Du auch beweisen, dass
eine angegebene Funktion bijektiv ist, und es nicht nur als "klar"
hinnehmen...)
Nur mal nebenbei:
Betrachte [mm] $m(x):=\frac{x}{1+|x|}\,.$ [/mm] Als Funktion $m: [mm] \IR \to [/mm] (-1,1)$ ist
dann [mm] $m\,$ [/mm] bijektiv. (Das kann man leicht mit strenger Monotonie und
Stetigkeit begründen und weil [mm] $\lim_{x \to \pm \infty}m(x)=\pm 1\,.$)
[/mm]
Damit ist leicht eine Bijektion $(-1,1) [mm] \to \IR$ [/mm] gefunden: [mm] $m^{-1}$ ($\not=1/m$(!!!)).
[/mm]
Um nun eine Bijektion $(-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] zu finden, reicht es dann etwa, eine
Bijektion $(-1,1] [mm] \to [/mm] (-1,1) $ anzugeben (denn bedenke: Umkehrfunktionen
bijektiver Funktionen und auch Verknüpfungen bijektiver Funktionen sind
bijektiv - bzw. beweise das, wenn es unbekannt oder unklar ist!) - und
dazu hat wieschoo ja schon was gesagt...
P.S. Wenn Du magst, kannst Du ja auch mal versuchen, etwa eine
Bijektion $(-1,1] [mm] \to [/mm] [-1,1]$ anzugeben. Alles andere ist reine Bastelarbeit:
Eine Bijektion $(-1,1) [mm] \to [/mm] (a,b)$ anzugeben (sofern $a < [mm] b\,$) [/mm] ist "fast"
trivial...
Gruß,
Marcel
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