Intervall einer Funktion best. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, in welchen Intervallen die Funktion {f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x}} [/mm] monoton wächst bzw. monoton fällt. Argumentieren Sie exakt, nicht nur anschaulich. |
hallo zusammen
wenn sie wächst heitßt es die [mm] f(x_{1}) \ge f(x_{2})
[/mm]
wenn sie fällt heißt es [mm] f(x_{1}) \le f(x_{2})
[/mm]
und [mm] x_{2} \ge x_{1}
[/mm]
dann bin so vorgegangen:
[mm] f(x_{1}) \ge f(x_{2})
[/mm]
[mm] \bruch{x_{1}}{1+x_{1}} \ge \bruch{x_{2}}{1+x_{2}}
[/mm]
[mm] x_{1} (1+x_{2}) \ge x_{2} (1+x_{1})
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{1} \* x_{2} \ge x_{2} [/mm] + [mm] x_{1} \* x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1} \ge x_{2}
[/mm]
0 [mm] \ge x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dass es im Intervall von ] - [mm] \infty [/mm] ; 0 ] fällt
dann wächst der Graph im Intervall [ 0 ; [mm] \infty [/mm] [
ich vermute dass es falsch ist, da ich gar keinen Wendepunkt hier habe.
weiß leider nicht wie ich ihn bestimmen soll.
kann mir jamand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo juel!
Du musst bei Deiner Umformung aufpassen, wenn du mit dem Hauptnenner multiplizierst. Sollte dieser Term nämlich negativ sein, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
Darfst Du denn für die Monotonie auch die Ableitung benutzen? Es gilt:
$$f \ [mm] \text{monoton fallend} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ f'(x) \ < \ 0$$
$$f \ [mm] \text{monoton steigend} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ f'(x) \ > \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
also mit der Ableitung weiß ich gar nicht wie das gehen soll, im Skript bei mir steht auch nichts von einer Ableitung bei der Monotonie-behalndlung.
also ist mein Ergebniss falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
ist die Aufgabe richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo juel!
Wie ich oben schon andeutete, musst Du bei Deiner Umformung eine Fallunterscheidung für [mm] $(1+x_1)*(1+x_2) [/mm] \ > \ 0$ sowie [mm] $(1+x_1)*(1+x_2) [/mm] \ < \ 0$ durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
wie soll ich das machen, kannst du mir vielleicht auf die Sprünge helfen?
wenn ich die Funktion ableite, dann kommt bei mir f(y) = y [mm] \* (1+x_{1}) [/mm] raus. Wie kommt es, dass ich was anderes habe als du?
allg. f(x) = y
[mm] \bruch{x_{1}}{1+x_{1}} [/mm] = y
[mm] x_{1} [/mm] = y [mm] \* (1+x_{1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(y) = y [mm] \* (1+x_{1})
[/mm]
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Hallo juel,
was tust du da gerade?
> wenn ich die Funktion ableite, dann kommt bei mir f(y) = y
> [mm]\* (1+x_{1})[/mm] raus. Wie kommt es, dass ich was anderes
> habe als du?
Was hatte Loddar denn? Ich habe noch gar keine Ableitung gesehen. Was Du da allerdings anstellst, verstehe ich überhaupt nicht:
> allg. f(x) = y
>
> [mm]\bruch{x_{1}}{1+x_{1}}[/mm] = y
>
> [mm]x_{1}[/mm] = y [mm]\* (1+x_{1})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(y) = y [mm]\* (1+x_{1})[/mm]
Das ist keine Ableitung. Du fängst so an, als wolltest Du eine Umkehrfunktion bestimmen, aber dann müsstest Du tatsächlich so auflösen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch [mm] x_1 [/mm] steht, und auf der anderen irgendein y-haltiger Term. Dann hättest Du x=f(y) gefunden. Hast Du aber noch nicht, und Du brauchst das auch gar nicht.
Die Ableitung Deiner Funktion geht nach der Quotientenregel.
Die andere Frage war diese:
> wie soll ich das machen, kannst du mir vielleicht auf die
> Sprünge helfen?
Loddar hatte vorher geschrieben:
> Wie ich oben schon andeutete, musst Du bei Deiner > Umformung eine Fallunterscheidung für $ [mm] (1+x_1)\cdot{}(1+x_2) [/mm] \ > \ 0 $
> sowie $ [mm] (1+x_1)\cdot{}(1+x_2) [/mm] \ < \ 0 $ durchführen.
Also:
1) [mm] (1+x_1)\cdot{}(1+x_2)>0 [/mm] gilt für [mm] x_1>-1\ \wedge\ x_2>-1 [/mm] und für [mm] x_1<-1\ \wedge\ x_2<-1
[/mm]
2) [mm] (1+x_1)\cdot{}(1+x_2)<0 [/mm] gilt für [mm] x_1<-1\ \wegde\ x_2>-1 [/mm] (und für [mm] x_1>-1\ \wedge\ x_2<-1 [/mm] )
Der letzte, eingeklammerte, Fall ist der einzige, der von vornherein ausscheidet, da ja [mm] x_2>x_1 [/mm] betrachtet wird.
Deine bisherige Rechnung gilt für die unter 1) angegebenen Fälle. Den unter 2) angegebenen ersten Fall musst Du nun noch untersuchen und beim Multiplizieren mit den beiden Nennern dann das Relationszeichen umkehren.
Noch eine, nicht unwesentliche Frage: was passiert eigentlich bei dem noch nicht betrachteten Fall [mm] (1+x_1)\cdot{}(1+x_2)\red{=}0 [/mm] ?
Jetzt Du.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
Es tut mir leid, aber ich komme nicht so richtig mit.
Loddar hat mir diese Funktion aufgestellt [mm] (1+x_{1}) \* (1+x_{2})
[/mm]
ich dachte das ist eine Ableitung und habe sie wieder versucht zu ermitteln
$ [mm] f(x_{1}) \ge f(x_{2}) [/mm] $
$ [mm] \bruch{x_{1}}{1 + x_{1}} \ge \bruch{x_{2}}{1 + x_{2}} [/mm] $
$ [mm] x_{1} [/mm] (1 + [mm] x_{2}) \ge x_{2} [/mm] (1 + [mm] x_{1}) [/mm] $
ableiten
(1 + [mm] x_{1}) \ge [/mm] (1 + [mm] x_{2})
[/mm]
dann habe ich 2. Ableitung gemacht und sie lautet
f''(x) = 2 + x
hab dann den x - Wert für Hochpunkt/Tiefpunkt berechnet
f'(x) = 0
(x+1) (x+1) = 0
x = -1
nach der Zeichnung her hat sich ergeben, dass auf x = -1 sowohl der Hochpunkt als auch der Tiefpunkt besteht. Und zwar im Intervall [mm] ]-\infty [/mm] ; -1 ] und im [ -1 ; [mm] \infty [/mm] [ ist es steigend.
wie soll ich das rechnerisch exakt argumentiern?
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Hallo juel,
> Es tut mir leid, aber ich komme nicht so richtig mit.
> Loddar hat mir diese Funktion aufgestellt [mm](1+x_{1}) \* (1+x_{2})[/mm]
>
> ich dachte das ist eine Ableitung und habe sie wieder
> versucht zu ermitteln
Loddar hat Dir keine Funktion aufgestellt und schon gar keine Ableitung mitgeteilt, sondern darauf hingewiesen, dass Deine Umformung davon abhängt, ob die Nenner, mit denen Du multipliziertst, positiv oder negativ sind.
> [mm]f(x_{1}) \ge f(x_{2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{x_{1}}{1 + x_{1}} \ge \bruch{x_{2}}{1 + x_{2}}[/mm]
>
> [mm]x_{1} (1 + x_{2}) \red{\ge} x_{2} (1 + x_{1})[/mm]
Genau hier. Das [mm] \ge [/mm] -Zeichen stimmt nur dann, wenn [mm] (1+x_1)*(1+x_2)>0 [/mm] ist, sonst musst Du es nämlich umdrehen zu einem [mm] \le [/mm] !
> ableiten
>
> (1 + [mm]x_{1}) \ge[/mm] (1 + [mm]x_{2})[/mm]
Was ist das für eine Ableitung? Woher stammt das [mm] \ge [/mm] -Zeichen? Bloß weil es für zwei Funktionswerte stimmen könnte (s.o.), ist überhaupt keine Aussage über die Ableitungen getroffen!
Weißt Du, wie man ableitet? So Sachen wie [mm] f(x)=x^2\Rightarrow \a{}f'(x)=2x [/mm] oder [mm] f(x)=\ln{x}\Rightarrow f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] ?
> dann habe ich 2. Ableitung gemacht und sie lautet
>
> f''(x) = 2 + x
Und wieder: wie kommst Du darauf? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> hab dann den x - Wert für Hochpunkt/Tiefpunkt berechnet
>
> f'(x) = 0
>
> (x+1) (x+1) = 0
>
> x = -1
>
>
> nach der Zeichnung her hat sich ergeben, dass auf x = -1
> sowohl der Hochpunkt als auch der Tiefpunkt besteht.
Wie kann denn an der gleichen Stelle der Hoch- und Tiefpunkt sein?
Stimmen Deine Zeichenergebnisse eigentlich mit Deiner Rechnung überein?
> Und
> zwar im Intervall [mm]]-\infty[/mm] ; -1 ] und im [ -1 ; [mm]\infty[/mm] [
> ist es steigend.
>
> wie soll ich das rechnerisch exakt argumentiern?
Du sollst den Verlauf der Funktion untersuchen. Das kannst Du entweder mit Deiner schon begonnenen Untersuchung von [mm] f(x_1), f(x_2) [/mm] zusammen mit der Feststellung des Definitionsbereichs und der Betrachtung, was die Funktion in der Umgebung etwa nicht definierter Stellen für ein Verhalten zeigt. Du kannst stattdessen z.B. Monotonie über das Verhalten der 1. Ableitung untersuchen, dabei auch gleich noch etwaige Extremwerte (Maxima, Minima) bestimmen, und über die 2. Ableitung das Krümmungsverhalten incl. Wendepunkte.
Gib doch mal die 1. Ableitung von [mm] f(x)=\bruch{x}{x+1} [/mm] an, bitte. Dann können wir ja mal weitersehen.
Außerdem vielleicht auch eine Antwort auf die Frage, an welchen Stellen (oder welcher Stelle) f(x) nicht definiert ist.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
ich weiß schon wie ableiten geht, mich verwirrt es nur ein wenig, dass es für einen Graphen die eine Funktion bereits hat, noch eine zweite dazu gestellt wird.
ich hab mich ein wenig umgeschaut,
also würde raus kommen
[mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{x}{(x+1)^2}
[/mm]
ich hab leider keine Anhung wie eine Ableitung von Brüchen geht, kann das nur mit reelen Zahlen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 31.01.2009 | | Autor: | juel |
kann mir bitte jemand in kurzform erklären wie man eine Funktion aus Brüchen ableitet.
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Eine Funktion, die als Quotient zweier Funktionen darstellbar ist, kann nach der Quotientenregel abgeleitet werden.
Beispiel: [mm] f(x)=\bruch{\sin{x}}{x^2}
[/mm]
Dann ist [mm] u(x)=\sin{x} [/mm] und [mm] v(x)=x^2, f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}
[/mm]
Weiter ist [mm] u'(x)=\cos{x} [/mm] und $ v'(x)=2x $
Nach der Quotientenregel ist nun:
[mm] f'(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-v'(x)*u(x)}{(v(x))^2}=\bruch{(\cos{x})x^2-2x\sin{x}}{\left(x^2\right)^2}=\bruch{x\cos{x}-2\sin{x}}{x^3}
[/mm]
Jetzt wende das mal auf Deine Funktion an.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Sa 31.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo juel,
wo wird denn eine zweite Funktion dazugestellt?
Die Unterscheidung [mm] (1+x_1)*(1+x_2)>0 [/mm] oder <0 ist ausschließlich eine, die aufgrund der Rechenregeln für Ungleichungen nötig wird.
Die Ableitung Deiner Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{1+x} [/mm] ist zwar richtig, aber Du kannst sie noch erheblich zusammenfassen.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 01.02.2009 | | Autor: | juel |
hallo
habe die 1. und 2. Ableitung der Funktion [mm] {f(x)=\bruch{x}{1+x}} [/mm] gemacht
1. Ableitung
[mm] {f'(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}}
[/mm]
2. Ableitung
[mm] {f''(x)=\bruch{-2}{(1+x)^3}}
[/mm]
dann müsste man die Extrema und das Monotonieverhalten ermitteln.
ich kenn das so, dass man die 1. Ableitung =0 setzt um die x-Werte für den Hoch- und Tiefpunkt zu berechnen, dann setzt man den x-Wert in die 2. Ableitung ein und bekommt einen y-Wert.
Ich weiß nur nicht wie ich das bei einem Bruch ermitteln soll.
Also zB. hier bei der ersten Ableitung
[mm] {f'(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}}
[/mm]
[mm] {\bruch{1}{(1+x)^2}=0}
[/mm]
normalerweise würde ich ja an erster Stelle den Nenner auf die andere Seite bringen, aber hier klappt es nicht.
kann mir jemand helfen?
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Hallo juel,
> hallo
>
>
> habe die 1. und 2. Ableitung der Funktion
> [mm]{f(x)=\bruch{x}{1+x}}[/mm] gemacht
>
> 1. Ableitung
>
> [mm]{f'(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Ableitung
>
> [mm]{f''(x)=\bruch{-2}{(1+x)^3}}[/mm]
>
> dann müsste man die Extrema und das Monotonieverhalten
> ermitteln.
> ich kenn das so, dass man die 1. Ableitung =0 setzt um
> die x-Werte für den Hoch- und Tiefpunkt zu berechnen, dann
> setzt man den x-Wert in die 2. Ableitung ein und bekommt
> einen y-Wert.
> Ich weiß nur nicht wie ich das bei einem Bruch ermitteln
> soll.
> Also zB. hier bei der ersten Ableitung
>
> [mm]{f'(x)=\bruch{1}{(1+x)^2}}[/mm]
>
> [mm]{\bruch{1}{(1+x)^2}=0}[/mm]
>
> normalerweise würde ich ja an erster Stelle den Nenner auf
> die andere Seite bringen, aber hier klappt es nicht.
>
> kann mir jemand helfen?
Nein, hier ist nichts zu helfen, ein Bruch wird nur dann 0, wenn der Zähler =0 wird.
Bei [mm] $f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$ [/mm] ist nix zu machen, das Ding hat keine NST(en), also Essig mit Extrema für f :-(
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 01.02.2009 | | Autor: | juel |
danke für die Antwort
okay, nach der Zeichnung her kann ich mir das auch vorstellen, aber wie soll ich das rechnerisch zeigen bzw. beweisen?
Außerdem muss ich auch noch zeigen im welchem Intervall der Graph wächst und im welchem er fällt. Wie soll ich das ohne die Extrema machen?
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Hallo nochmal,
> danke für die Antwort
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> okay, nach der Zeichnung her kann ich mir das auch
> vorstellen, aber wie soll ich das rechnerisch zeigen bzw.
> beweisen?
> Außerdem muss ich auch noch zeigen im welchem Intervall
> der Graph wächst und im welchem er fällt. Wie soll ich das
> ohne die Extrema machen?
Die Funktion hat ja an der Stelle $x=-1$ einen Pol, untersuche also mal die folgen Limites:
(1) [mm] $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$
[/mm]
(2) [mm] $\lim\limits_{x\to -1^-}f(x)$
[/mm]
(3) [mm] $\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)$
[/mm]
(4) [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$
[/mm]
und ziehe daraus und aus der Tatsache, dass f keine Extrema hat, deine Schlüsse ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 01.02.2009 | | Autor: | juel |
diese Regel habe ich noch nie behandelt, wie funktioniert das?
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Hallo juel,
wenn ihr Differentialrechnung habt oder hattet, dann ist der Limes auch schon drangewesen - ohne Grenzwerte sind z.B. Ableitungen nicht herzuleiten.
schachuzipus hat sehr genau notiert, welche Grenzwerte hier eine Bedeutung haben. Bildlich gesprochen diese vier:
Was macht die Funktion, wenn x gegen minus Unendlich läuft?
Was macht sie, wenn sie sich von links x=-1 nähert?
Was macht sie, wenn sie sich von rechts x=-1 nähert?
Was macht die Funktion, wenn x gegen plus Unendlich läuft?
Du kannst dazu erst einmal die entsprechenden Darstellung auf dem GTR anschauen, oder einfach für Werte, die in die entsprechende Richtung gehen (also z.B. -1000000 oder -1.001) Funktionswerte berechnen lassen. Für den Nachweis brauchst Du dann aber doch eine Darstellung, in der das rechnerisch zu zeigen ist, eben eine Grenzwertbetrachtung.
Immerhin weißt Du doch schonmal, dass die erste Ableitung zum einen nirgendwo Null wird, und zum andern z.B. bei x=0 den Wert 1 hat, also positiv ist. Negativ könnte sie dann nur werden, wenn sie irgendwo einen Pol hat, weil sie - wieder bildlich - ja sonst nie auf die andere Seite der x-Achse (die Gerade y=0) wechseln kann.
Hat sie denn einen Pol? Gibt es negative Werte, wenn schon die Null nicht möglich ist?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 01.02.2009 | | Autor: | juel |
Ja okay,
ich habe den Graphen gezeichnet, ich weiß dass es an der Stelle -1 einen Pol hat. Ich weiß nur nicht wie ich es rechnerisch zeigen soll.
für Extrema:
[mm] {f(x)=\bruch{1}{1+x)^2}}
[/mm]
[mm] {\bruch{1}{1+x)^2}=0}
[/mm]
1=0
also wäre das dann für x=0 der Wert 1 (laut deiner Aussage). Muss ich den Wert 1 noch irgendwie behandeln?
Grenzwert: falls ich das richtig verstanden habe, müsste es so sein
[mm] {\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2}{(1+x)^3}=\bruch{-2}{(1+\infty)^3}=0}
[/mm]
[mm] {\limes_{x\rightarrow(-1)}\bruch{-2}{(1+x)^3}=\bruch{-2}{(1+(-1))^3}=\bruch{-2}{0}}= [/mm] keine Lösung
[mm] {\limes_{x\rightarrow1}\bruch{-2}{(1+x)^3}=\bruch{-2}{(1+1)^3}=\bruch{-2}{2^3}} \Rightarrow [/mm] fallend
[mm] {\limes_{n\rightarrow(-2)}\bruch{-2}{(1+x)^3}=\bruch{-2}{(1+(-2))^3}=\bruch{-2}{(1+(-2))^3}=\bruch{-2}{-1}=-2} \Rightarrow [/mm] steigend
stimmt das so?
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Hallo juel,
sorry, Deine Frage ist mir irgendwie durchgegangen.
Was rechnest Du denn da? Du scheinst den Überblick verloren zu haben. Ich habe auch nie behauptet, dass 0=1 sei, sondern dass f(0)=1 ist.
Ich fasse mal zusammen:
Du sollst Dich, laut Aufgabe, der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{x+1} [/mm] widmen und über sie Aussagen treffen.
Dazu hast Du den Definitionsbereich betrachtet, das ist [mm] \IR\setminus\{-1\}.
[/mm]
Die ersten beiden Ableitungen hast Du inzwischen wie folgt bestimmt:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(x+1)^2},\quad f''(x)=-\bruch{2}{(x+1)^3}
[/mm]
Beide Ableitungen haben keine Nullstellen. Es gibt also kein Extremum und keinen Wendepunkt. Vorzeichenwechsel (der Ableitungen) können nur an Polen erfolgen.
Die Funktion hat an der Definitionslücke {-1} einen ungeraden Pol. Das allerdings ergibt sich erst aus folgenden Grenzwertbetrachtungen:
[mm] \limes_{x\rightarrow -1_+}\bruch{x}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1_+}1-\bruch{1}{x+1}=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -1_-}\bruch{x}{x+1}=\limes_{x\rightarrow -1_-}1-\bruch{1}{x+1}=+\infty
[/mm]
Das Verhalten "im Unendlichen" ist dies:
[mm] \limes_{x\rightarrow \pm\infty}\bruch{x}{x+1}=\limes_{x\rightarrow \pm\infty}1-\bruch{1}{x+1}=1
[/mm]
Aus all diesem ist nun zu folgern, dass die Funktion für x<-1 durchweg oberhalb der Gerade y=1 liegt, der sie sich gegen [mm] -\infty [/mm] annähert. Bei x=-1 liegt ein ungerader Pol dergestalt, dass die Funktion von links gegen [mm] +\infty [/mm] geht, von rechts gegen [mm] -\infty. [/mm] Für x gegen [mm] +\infty [/mm] nähert sich die Funktion "von unten" asymptotisch der Gerade y=1.
Da die erste Ableitung außer an der nicht definierten Stelle x=-1 durchweg positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Sie hat kein Extremum und keinen Wendepunkt, da die ersten beiden Ableitungen keine Nullstellen haben.
Nun könntest Du noch ermitteln, dass die Funktion für x<-1 linksgekrümmt und für x>-1 rechtsgekrümmt ist, aber das überlasse ich Dir.
All das wäre mit etwas Vorwissen leicht zu zeigen gewesen.
In der Darstellung [mm] f(x)=1-\bruch{1}{x+1} [/mm] wird ja deutlich, dass es sich um eine Hyperbel handelt, die verschoben und gespiegelt ist. Siehst Du, wie Du durch neue Koordinaten [mm] \hat{x}, \hat{y}\ [/mm] setzen kannst, so dass Du zur "normalen" Form [mm] \hat{y}=\bruch{1}{\hat{x}} [/mm] kommst?
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 So 01.02.2009 | | Autor: | juel |
diese Regel habe ich noch nie behandelt, wie funktioniert das?
kannst du mir das vielleich kurz und knapp erklären?
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