Intervalle finden < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Do 30.12.2010 | | Autor: | egolfo |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega,E,P)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sind $A,B,C$ Ereignisse mit $P(C)>0$, so heißen $A,B$ unabhängig unter der Voraussetzung $C$, wenn
[mm] $P(A\setminusB|C)=P(A|C)\cdotP(B|C)$.
[/mm]
Der Wahrscheinlichkeitsraum sei nun speziell $[0,1]$ mit der Gleichverteilung. Finden Sie alle Intervalle $A=[a,b]$ in, so dass $A,B$ unabhängig unter der Voraussetzung $C$ sind. Dabei ist $B=[0,0.5]$ und [mm] $C=[0.25,0.30]\cup[0.9,1]$ [/mm] |
Hallöchen Freunde der Mathematik,
prinzipiell ist mir klar, worum es sich in der Augabe dreht. Wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeit noch mit einbringt, ergibt sich auch eine Form aus der man sicherlich sofort folgern kann welche Möglichkeiten $[a,b]$ annehmen kann:
[mm] $$P(A\setminusB|C)=P(A|C)\cdotP(B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}$
[/mm]
Meine Idee wäre es jetzt die Wahrscheinlichkeit des Produktes in Abhängigkeit von A zu bestimmen. Analog die Wahrscheinlichkeit des Quotienten. Das muss ja gleich sein, damit A,B unabhängig unter der Voraussetzung C sind!
[mm] $P(C)=\frac{3}{20}$
[/mm]
[mm] $P(A|C)=\frac{P([a,b]\cap([0.25,0.3]\cup[0.9,1.0]))}{\frac{3}{20}}$
[/mm]
[mm] $P(B|C)=\frac{P([0.25,0.3])]}{\frac{3}{20}}=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $P(A\cap B)|C)=\frac{P(([a,b]\cap [0,0.5])\cap([0.25,0.3]\cup[0.9,1.0])}{\frac{3}{20}}$
[/mm]
Doch so richtig komm ich heut Morgen noch nicht in die Gänge und seh die "Lösung" nicht gleich. Gibs noch ne Möglichkeit weiterumzuformen, oder muss man rumprobieren?
Schon mal einen guten Rutsch für alle hier ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo egolfo,
erstens: Es gibt eine Vorschaufunktion. Das was du da hingeschrieben hast stimmt in keiner Weise mit dem überein, was du als Formeln eintippen wolltest :-(
So macht das keinen Spaß, zu lesen.
Dastehen tut:
> Sind $ A,B,C $ Ereignisse mit $ P(C)>0 $, so heißen $ A,B $ unabhängig unter der Voraussetzung $ C $, wenn $P(A\setminusB|C)=P(A|C)\cdotP(B|C) $.
Schreiben wolltest du:
> Sind $ A,B,C $ Ereignisse mit $ P(C)>0 $, so heißen $ A,B $ unabhängig unter der Voraussetzung $ C $, wenn $P(A\setminus B|C)=P(A|C)\cdot P(B|C) $.
Und nichtmal das wär korrekt, sondern:
> Sind $ A,B,C $ Ereignisse mit $ P(C)>0 $, so heißen $ A,B $ unabhängig unter der Voraussetzung $ C $, wenn $P(A \cap B|C)=P(A|C)\cdot P(B|C) $.
Du benutzt das später zwar korrekt, z.B. hier:
Geschrieben hast du:
> $$P(A\setminusB|C)=P(A|C)\cdotP(B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}$ $
Werden sollte das:
> $ P(A\setminus B|C)=P(A|C)\cdot P(B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}$
Korrekt wäre:
> $ P(A\cap B|C)=P(A|C)\cdot P(B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}$
Und nun zu den eigentlichen Fehlern:
> $ P(C)=\frac{3}{20} $
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ P(B|C)=\frac{P([0.25,0.3])]}{\frac{3}{20}}=\frac{1}{3} $
Nun zurück zu der Formel oben:
$P(A|C)\cdot P(B|C)=\frac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}$
$\gdw \bruch{1}{3} P(A|C) = \bruch{P((A \cap B) \cap C)}{P(C)}$
$\gdw \bruch{1}{3}P(A \cap C) = P\left((A \cap C) \cap B)$
Der Übersichtlichkeit halber substituiere ich erstmal $Z:= A\cap C$
$\gdw P(Z) = 3*P(Z \cap B)$
kommst du nun weiter?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:23 So 02.01.2011 | | Autor: | egolfo |
Okay danke für den Hinweis. Muss zugeben, dass ich etwas in Eile war und beim Copy-Paste von Latex "einfach" was vergessen hab. Die Vorschaufunktion hab ich benutzt, bin den Text aber nur überflogen. Versuche das in Zukunft zu vermeiden...
Zur Aufgabe:
Der Trick mit dem Substituieren hat mir ziemlich stark geholfen.
Aus [mm] $P(A\cap C)=3\cdot P((A\cap C)\cap [/mm] B)$ folgt sofort, da wir eine Gleichverteilung auf $[0,1]$ haben, dass die Menge $A$ mindestens so groß wie die Menge C sein muss! Mit [mm] $A\subseteq [/mm] C$ folgt:
[mm] $P(A\cap C)=P([0.25,0.3])+P([0.9,1])=\frac{3}{20}$
[/mm]
[mm] $P((A\cap C)\cap B)=P([0.25,0.3])=\frac{1}{20}$
[/mm]
Reicht meine Angabe dann demzufolge so: [mm] $\Omega\subseteq A\subseteq [/mm] C$
Zusätzlich würde ich noch angeben, dass [mm] $C\subset [/mm] A$ nicht gilt:
$Sei A:=[0.9,1]$. Dann wäre [mm] $P(A\cap C)=P([0.9,1])=\frac{1}{10}$ [/mm] und [mm] $P((A\cap C)\cap [/mm] B)=P(0)=0$.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Das wäre allerdings ein Widerspruch zu [mm] $P(A\cap [/mm] C) = [mm] 3\cdot{}P((A\cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] B) $
Geht das so? Danke für eure Hilfe!
Gesundes neues Jahr allen Lesern!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 04.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
