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| Aufgabe | Sei a > 0 und f:[0,a] [mm] ->\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion derart, dass f(0)= f(a)= 0 und für alle x [mm] \el\ [/mm] [0,a] gilt:
f'(x) >= cos(x). Zeigen sie, dass a >= [mm] \pi [/mm] |
Hallo zusammen,
ich knobel grad an folgender Aufgabe und könnte einen Denkanstoß gut gebrauchen.
Ich weiß, dass mit dem Satz von Rolle folgt, dass ein x' existieren muss mit f'(x')= 0.
f kann nicht konstant sein, das wäre sonst schon bereits im Punkt 0 mit f'(0) = 0 < 1 = cos(0) ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
Aber wie kann ich jetzt weiter machen?
Da der cosinus bei 1 beginnt und dann monotan fallend ist, kann die Funktion f doch nur monoton steigend sein, und erst ab pi/2 wieder fallen oder?
Freue mich über jeden Hinweis.
pfefferminza
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Das ist eine interessante Aufgabe, von daher hat sie mich zum Nachdenken angeregt, und ich hätte folgende Idee anzubieten:
Betrachte mal f' als Funktion g und f als eine Stammfunktion G mit G(0)=0.
Man kann dann die Funktion G(x) als Flächenzuwachsfunktion bezüglich der Fläche zwischen g und der x-Achse anschauen. Jetzt betrachte zunächst den Fall g=f'=cos(x), dann folgt sofort [mm] a=\pi. [/mm] Und davon ausgehend wird die Behauptung anschaulich, nur wie man das jetzt in einen schönen Beweis packt, ist mir gerade auch nicht ganz klar.
Gruß, Diophant
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Für den Fall, dass f'(x) = cos(x) für alle x gilt, kann ich nachvollziehen, dass a = pi sein muss.
Aber für den Fall, dass diese Gleichheit nicht stimmt, komme ich auf keine zündene Idee
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Hallo,
> Für den Fall, dass f'(x) = cos(x) für alle x gilt, kann
> ich nachvollziehen, dass a = pi sein muss.
> Aber für den Fall, dass diese Gleichheit nicht stimmt,
> komme ich auf keine zündene Idee
nun, für den Fall f'(x)>cos(x) ist der von mir angedachte 'Flächenzuwachs' im Intervall [mm] \left[0;\bruch{\pi}{2}\right] [/mm] sicherlich größer als 1 (was er im Fall f'=cos(x) ja wäre). Dieser Flächenzuwachs muss nun aber irgendwie kompensiert werden, denn wir haben ja G(a)=f(a)=0. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
- Man verlagert die Funktion f' rechts von der sicherlich notwendigen Nullstelle weiter nach unten als dies bei der Kosinusfunktion der Fall wäre. Das ist aber nach Voraussetzung ausgeschlossen
- Man verlagert die Nullstelle nach rechts, um denjenigen Bereich, in dem f' unterhalb der x-Achse verläuft (und der Flächenzuwachs somit negativ ist) zu vergrößern.
Gruß, Diophant
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Hola,
also so ganz bin ich mit der Lösungsidee noch nicht einverstanden. Bzw sie ist mir noch nicht ganz klar.
Ich werde mal drüber nachdenken.
Melde mich sicher später nochmal.
Danke auf jeden fall für deine schnelle Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> also so ganz bin ich mit der Lösungsidee noch nicht
> einverstanden. Bzw sie ist mir noch nicht ganz klar.
> Ich werde mal drüber nachdenken.
> Melde mich sicher später nochmal.
Ja, klar, gerne. Ich denke schon, dass mein Lösungsvorschlag funktioniert, nur solltest du das ja irgendwie noch 'formaler' haben. Ich habe daher deine Ausgangsfrage auch auf 'teilweise beantwortet' gestellt, kann also gut sein, dass du auch auf die ursprüngliche Frage noch weitere Antworten erhältst.
Gruß, Diophant
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Hiho,
an Diophants Vorschlag ist sogar gar nichts "unvollständig", wie er selber meint. Man muss es nur sauber aufschreiben:
Es gilt doch:
$f(x) = [mm] \integral_0^x f'(t)\, [/mm] dt$
Sei nun $a [mm] \in [0,\pi)$, [/mm] dann gilt:
$f(a) = [mm] \integral_0^a f'(t)\, [/mm] dt [mm] \ge \integral_0^a \cos(t) \, [/mm] dt = [mm] \sin(a) [/mm] > 0$
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hi Gono,
> Hiho,
>
> an Diophants Vorschlag ist sogar gar nichts
> "unvollständig", wie er selber meint. Man muss es nur
> sauber aufschreiben:
>
> Es gilt doch:
>
> [mm]f(x) = \integral_0^x f'(t)\, dt[/mm]
>
> Sei nun [mm]a \in [0,\pi)[/mm], dann gilt:
>
> [mm]f(a) = \integral_0^a f'(t)\, dt \ge \integral_0^a \cos(t) \, dt = \sin(a) > 0[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Danke für die Blumen. 
Ich bin halt hier euer 'Turnschuh-Mathematiker', will sagen, mein etwas bruchstückhaftes Laien-Wissen reicht manchmal zwar für die zündende Idee, nicht aber für eine angemessene Schreibweise. Mit deiner haben wir ja jetzt gemeinsam einen guten Tipp hinbekommen, oder? 
Grüße & schönes Wochenende,
Diophant
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oh super. den zusammenhang von funktion und stammfunktion mittels der integrale auszunutzen ist mir gar nicht eingefallen.
genial, danke an beide :)
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