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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:12 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo an alle Mathematiker!
ich brauch mal ein paar tipps, wie ich an folgenden beweis herangehen soll:
ich soll beweisen, dass zu jeder intervallschachtelung [mm] I_{n}genau [/mm] eine reelle Zahl a gibt mit a [mm] \in I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
wie geh ich bloß an einen solchen beweis heran?
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Hallo,
> ich brauch mal ein paar tipps, wie ich an folgenden beweis
> herangehen soll:
> ich soll beweisen, dass zu jeder intervallschachtelung
> [mm]I_{n}genau[/mm] eine reelle Zahl a gibt mit a [mm]\in I_{n}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> wie geh ich bloß an einen solchen beweis
> heran?
Schritt 1 wäre, daß Du Dir darüber klar wirst, was eine Intervallschachtelung ist.
Wie habt Ihr das definiert?
Schritt2: Wie sieht so eine Schachtelung anschaulich aus?
Ist Dir anschaulich-intuitiv klar, daß es da ein a gibt, welches in jedem der Intervalle [mm] I_n [/mm] liegt?
Und wenn das ganze in Gedanken bis hierhin durchdrungen und verstanden hast, dann kannst Du darangehen und es formal beweisen.
Schritt 3: Mein Tip ist, die Folge der oberen und unteren Intervallgrenzen zu betrachten, bzw. zu zeigen daß sie konvergieren, und zwar gegen einen gemeinsamen Wert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 08.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also ich hab mir jetzt zunächst bildlich dargestellt, was eine intervallschachtelung eigentlich bedeutet und hab dann an meiner skizze erkenntlich gemacht, dass ober-und unterfolge jeweils gegen den gleichen grenzwert streben, nämlich gegen mein a.
nun mein beweis: die folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] sind jeweils monoton und beschränkt, da sie ja in [a1,b1] liegen. nach dem monotonieprinzip über grenzwerte existieren daher die grenzwerte lim [mm] a_{n}:=a [/mm] und lim [mm] b_{n}:=b. [/mm] weiterhin gilt, dass [mm] (b_{n}-a_{n}) [/mm] sowohl gegen b-a als auch gegen 0 strebt, damit muss a=b sein. und weilbfür alle n gilt [mm] a_{n}\le [/mm] sup [mm] a_{k}=a=b=inf b_{k} \le b_{n}, [/mm] liegt a in jedem intervall [mm] [a_{n}, b_{n}]
[/mm]
q.e.d.
ist das so in ordnung?
lieben gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 08.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> also ich hab mir jetzt zunächst bildlich dargestellt, was
> eine intervallschachtelung eigentlich bedeutet und hab dann
> an meiner skizze erkenntlich gemacht, dass ober-und
> unterfolge jeweils gegen den gleichen grenzwert streben,
> nämlich gegen mein a.
Wichtiger Punkt: wie habt ihr Vollständigkeit definiert? Also du hast jedenfalls zur Verfügung, dass monotone, beschränkte Folgen einen Grenzwert haben? Okay.
> nun mein beweis: die folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] sind jeweils
> monoton und beschränkt, da sie ja in [a1,b1] liegen.
... und monoton da die Intervalle in einander geschachtelt sind.
> nach
> dem monotonieprinzip über grenzwerte existieren daher die
> grenzwerte lim [mm]a_{n}:=a[/mm] und lim [mm]b_{n}:=b.[/mm] weiterhin gilt,
Ja.
> dass [mm](b_{n}-a_{n})[/mm] sowohl gegen b-a als auch gegen 0
Warum gegen 0? Das musst du begründen. Alternativ kannst du ancher zeigen, dass es maximal ein Element in der Intervallschachtelung gibt.
> strebt, damit muss a=b sein. und weilbfür alle n gilt
> [mm]a_{n}\le[/mm] sup [mm]a_{k}=a=b=inf b_{k} \le b_{n},[/mm] liegt a in
> jedem intervall [mm][a_{n}, b_{n}][/mm]
Okay - aber warum gibt es nicht mehrere Punkte in der Schachtelung, zN geb ich dir mal die "Intervallschachtelung" [m][-\bruch{1}{n},1][/m]. Was ist hier faul?
> ist das so in ordnung?
Noch nicht, aber bald.
Zusatzfrage: warum müssen die Intervalle abgeschlossen sein? Gilt das Prinzip denn noch wenn man offene / halboffene Intervalle nimmt?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 08.11.2005 | | Autor: | Franzie |
wenn gilt [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] und es existiert ein n element natürl. zahlen und es gilt lim [mm] (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n})=0 [/mm] d.h. beide folgen konvergieren gegen den gleichen grenzwert a
(oder wie war das gemeint, ich soll erklären, weshalb sie gegen 0 streben?)
es gilt weiterhin [mm] [a_{n+1} ,b_{n+1}] \subset [a_{n}, b_{n}]
[/mm]
dann gilt [mm] \cap [a_{n}, b_{n}] [/mm] ={a}
d.h. der durchschnitt aller intervalle [mm] [a_{n}, b_{n}]
[/mm]
ist eine menge mit einem einzigem element a
reicht das zur klärung der restlichen lücken in meinem beweis?
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Hallo Franzi,
das, was Du da schreibst, finde ich von der Sprache her sehr schwer zu verstehen.
Es ist überhaupt keine Aussage.
> wenn gilt [mm]a_{n}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm] und es existiert ein n element
> natürl. zahlen und es gilt lim [mm](a_{n}[/mm] - [mm]b_{n})=0[/mm]
DASS es gilt, ist aber doch genau das, was bisher unklar ist und begründet werden soll.
d.h. beide
> folgen konvergieren gegen den gleichen grenzwert a
> (oder wie war das gemeint, ich soll erklären, weshalb sie
> gegen 0 streben?)
> es gilt weiterhin [mm][a_{n+1} ,b_{n+1}] \subset [a_{n}, b_{n}][/mm]
>
> dann gilt [mm]\cap [a_{n}, b_{n}][/mm] ={a}
Warum? Warum besteht der Durchschnitt nicht aus zwei Elementen?
Dies ist die Stelle, an der Du weiterarbeiten arbeiten mußt, um zum Ziel zu kommen.
Schau Dir nochmal Seckis Beitag an.
> d.h. der durchschnitt aller intervalle [mm][a_{n}, b_{n}][/mm]
> ist
> eine menge mit einem einzigem element a
>
> reicht das zur klärung der restlichen lücken in meinem
> beweis?
Nein, leider noch nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also ich brauch echt nochmal einen anstoß, wie ich beweisen soll, dass beide folgen gegen den gleichen grenzwert streben und dass a das einzige element darin ist. ich weiß echt nicht, wie ich das anstellen soll.
außerdem muss ich ja noch begründen, warum [mm] (a_{n}-b_{n}) [/mm] sowohl gegen b-a als auch gegen 0 strebt. könnt ihr mir da weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mi 09.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> außerdem muss ich ja noch begründen, warum [mm](a_{n}-b_{n})[/mm]
> sowohl gegen b-a als auch gegen 0 strebt. könnt ihr mir da
> weiter helfen?
Ja - welche Eigenschaft der Intervallschachtelung hast du noch nicht benutzt? Es ist eher banal, aber es sollte quasi eine geforderte Eigenschaft sein, dass [m]|a_n-b_n|[/m] gegen Null geht. Warum gibt es jetzt maximal ein Element im Schnitt? Was wäre wenn es denn zwei geben würde - mit dem Abstand?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
okay, also ich hab grad noch die letzte geforderte eigenschaft entdeckt. wenn wir die in der vorlesung so definiert haben, dass [mm] lim(a_{n}-a_{n})=0 [/mm] ist, brauch ich das ja nicht nochmal extra erklären.
aber nun zur einzigkeit der zahl a:
ich hab mir das so überlegt, wenn es angenommen zwei zahlen a und b geben würde (wobei a<b), dann läge das intervall [a,b] ja in jedem intervall und jedes intervall hätte eine länge (das meintest du doch sicher mit dem abstand?) [mm] \ge [/mm] b-a. aber das wäre ein widerspruch zu meiner eigenschaft, dass lim(b-a)=0 ist und damit kann es nur eine zahl a geben, die in allen intervallen liegt.
okay so?
lieber gruß und danke für die nützlichen tipps!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 09.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> okay, also ich hab grad noch die letzte geforderte
> eigenschaft entdeckt. wenn wir die in der vorlesung so
> definiert haben, dass [mm]lim(a_{n}-a_{n})=0[/mm] ist, brauch ich
> das ja nicht nochmal extra erklären.
Abgesehen davon, dass das eine a wohl ein b ist, stimmt das schon. Aber du solltest sowas halt hinschreiben - bla folgt aus blubber.
> aber nun zur einzigkeit der zahl a:
> ich hab mir das so überlegt, wenn es angenommen zwei
> zahlen a und b geben würde (wobei a<b), dann läge das
> intervall [a,b] ja in jedem intervall und jedes intervall
> hätte eine länge (das meintest du doch sicher mit dem
> abstand?) [mm]\ge[/mm] b-a. aber das wäre ein widerspruch zu meiner
> eigenschaft, dass lim(b-a)=0 ist und damit kann es nur eine
> zahl a geben, die in allen intervallen liegt.
Ja, maximal eine - warum mindestens eine drin liegt, hast du ja schon gezeigt. Aber du solltest wirklich die Zusatzaufgabe machen: geht das Intervallschachtelungsprinzip auch mit halboffenen, offenen Intervallen?
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:24 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
bis jetzt haben wir eigentlich immer nur von abgeschlossenen intervallen geredet. gilt denn dieser satz überhaupt für offene intervalle? in meinem buch ist hier lediglich von geschlossenen intervallen die rede.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 09.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> bis jetzt haben wir eigentlich immer nur von
> abgeschlossenen intervallen geredet. gilt denn dieser satz
> überhaupt für offene intervalle? in meinem buch ist hier
> lediglich von geschlossenen intervallen die rede.
Das sollst du ja eben herausfinden! Das ist jetzt deine Aufgabe. 
SEcki
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