Intervallschachtelung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 06.11.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Man beweise, dass [mm] (a_{n}+b_{n}), n\in\IN [/mm] mit
[mm] a_{n+1}=\bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}
[/mm]
[mm] b_{n+1}=\bruch{a_{n}+b_{n}}{2}
[/mm]
[mm] 0 |
Eine Intervallschachtelung definiert genau eine reelle Zahl [mm] \varphi \in \IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] \varphi \in [a_{n},b_{n}]
[/mm]
[mm] \varphi \in [/mm] lim [mm] a_{n}= [/mm] lim [mm] b_{n}
[/mm]
Die zweite Eigenschaft ist erfüllt, denn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] streben beide gegen Unendlich.
Außerdem [mm] 0
Wie ich die zweite Eigenschaft auf die Aufgabe beziehe weiß ich leider nicht. Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, worauf ich bei dem Beweis achten muss und wie ich auf die reelle Zahl komme?
Vielen Dank schon im Voraus
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
nicht so schnell.
> Man beweise, dass [mm](a_{n}+b_{n}), n\in\IN[/mm] mit
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}[/mm]
>
> [mm]b_{n+1}=\bruch{a_{n}+b_{n}}{2}[/mm]
>
> [mm]0
> Eine Intervallschachtelung definiert genau eine reelle
> Zahl [mm]\varphi \in \IR[/mm] mit folgenden Eigenschaften:
> [mm]\varphi \in [a_{n},b_{n}][/mm]
> [mm]\varphi \in[/mm] lim [mm]a_{n}=[/mm] lim
> [mm]b_{n}[/mm]
>
> Die zweite Eigenschaft ist erfüllt, denn [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm]
> streben beide gegen Unendlich.
Das tun sie nur dann, wenn [mm] a_1 [/mm] oder [mm] b_1 [/mm] schon unendlich sind. Davon würde ich nicht ausgehen.
Ansonsten streben beide Folgen gegen [mm] \wurzel{a_1*b_1}.
[/mm]
> Außerdem [mm]0
Nein, das stimmt auch nicht. Es gilt
[mm] 0
> Wie ich die zweite Eigenschaft auf die Aufgabe beziehe
> weiß ich leider nicht. Könnt ihr mir bitte einen Tipp
> geben, worauf ich bei dem Beweis achten muss und wie ich
> auf die reelle Zahl komme?
Die hab ich Dich jetzt sogar schon verraten. Aber erstmal suche danach, wo Du Dich bei Deinen Aussagen vertan hast.
> Vielen Dank schon im Voraus
Grüße
reverend
|
|
|
|
