Invariante Faktoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:50 Di 29.11.2011 | | Autor: | pila |
Hey,
Ich habe eine Frage zu einer Formulierung bei mir im Skript. Soweit habe ich alle Beweise verstanden, aber dennoch ergibt sich ein Problem bei folgender Isomorphie. Vielleicht könnt ihr mir helfen. Ich möchte es wirklich sehr, sehr gerne verstehen, weils mich total interessiert.
Sei $R$ ein HIB (Hauptidealbereich) und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann gilt folgende Isomorphie:
$M [mm] \cong [/mm] R/AR [mm] \cong [/mm] R/SR [mm] \cong R/ \times \ldots \times R/$
[/mm]
$S$ soll dabei die Smithform der Matrix $A$ sein. Also exestieren nach Definition $U,V [mm] \in GL_n: [/mm] UAV=S$
Aber wieso gilt dann trotzdem die Isomorphie von $R/AR [mm] \cong [/mm] R/SR$? Intuitiv ist es eigt. klar, da durch die Zeilen/Spaltenoperationen nicht wirklich viel verändert wird. Aber ein Beweis wurde dazu bei uns nicht explizit aufgeschrieben im Skript. Das aller erste Mal. Hehe. :D Vielleicht ist es auch so offensichtlich, dass ich grad ein Brett vor dem Kopf habe.
Aber schonmal vielen Dank. Viele Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
moin pila,
Ich kann den Beweis leider grad nicht nachgucken, deshalb lasse ich die Frage mal offen.
Als Anmerkung nur:
Ich wage stark zu bezweifeln, dass der Beweis im Skript aus Versehen vergessen wurde.
Er ist nicht all zu schwer und würde gut für eine kleine Übungsaufgabe taugen, also wenn du dich ein wenig geduldest könnte es sein, dass du den Beweis (in der einen oder anderen Form) doch noch bekommst.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Di 29.11.2011 | | Autor: | pila |
Okay. Da die Matrizen $U,V$ invertierbar sind ist ja $R/UR = [mm] \{0\}$ [/mm] und analog $R/VR = [mm] \{0\}$ [/mm] und daher für die Beobachtung uninteressant, da $UR = R=VR$. Und wir wissen ja, dass $R/AR = R/(USV)R$. Aber wie kann ich von dort aus geeignet weiter vorgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 30.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Das riecht nach:
Sind [mm]I_1,\ldots, I_n[/mm] Ideale (koprim) und I das Produkt der Ideale, dann gilt
[mm]R/I = R/(I_1\times \ldots \times I_n)\cong R/I_1\times \ldots \times R/I_n[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 01.12.2011 | | Autor: | pila |
Ja, den CRS kenne ich und das riecht wirklich danach. Aber geeignet anwenden darauf kann ich nicht bzw. sehe ich hier nicht. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
