Invariante Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Fr 20.11.2009 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich interessiere mich für Funktionen
[mm] f:R^n \rightarrow [/mm] R,
die invariant unter Gruppentransformationen sind.
Beispiel: Es gelte
f(x) = [mm] f(\pi(x))
[/mm]
für alle x [mm] \in R^n [/mm] und alle Permutationen [mm] \pi [/mm] einer Untergruppe [mm] \Pi [/mm] der symmetrischen Gruppe [mm] S_n. [/mm]
Meine Frage ist nun folgende:
1. Wie zeigt man Aussagen der Art:
a) Ist f diffbar (stetig) in x, dann ist f diffbar in [mm] \pi(x) [/mm] für alle [mm] \pi \in \Pi. [/mm] Muss man da direkt die Definition der Differenzierbarkeit (Stetigkeit) heranziehen oder kann man das mit bereits bewiesenen Sätzen zeigen?
b) Ist [mm] \nabla [/mm] f(x) der Gradient von f an der Stelle x, dann ist [mm] \pi(\nabla [/mm] f(x)) = [mm] \nabla f(\pi(x)) [/mm] der Gradient von f an der Stelle [mm] \pi(x)
[/mm]
2. Gibt es Literatur zu diesem Thema? Wenn ja, unter welchen Stichpunkten müsste ich suchen?
Vielen Dank und beste Grüße
bjj
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich interessiere mich für Funktionen
>
> [mm]f:R^n \rightarrow[/mm] R,
>
> die invariant unter Gruppentransformationen sind.
>
> Beispiel: Es gelte
>
> f(x) = [mm]f(\pi(x))[/mm]
>
> für alle x [mm]\in R^n[/mm] und alle Permutationen [mm]\pi[/mm] einer
> Untergruppe [mm]\Pi[/mm] der symmetrischen Gruppe [mm]S_n.[/mm]
>
> Meine Frage ist nun folgende:
>
> 1. Wie zeigt man Aussagen der Art:
>
> a) Ist f diffbar (stetig) in x, dann ist f diffbar in
> [mm]\pi(x)[/mm] für alle [mm]\pi \in \Pi.[/mm] Muss man da direkt die
> Definition der Differenzierbarkeit (Stetigkeit) heranziehen
> oder kann man das mit bereits bewiesenen Sätzen zeigen?
>
naja, das folgt ja eigentlich direkt durch hinschreiben der diffbarkeitsdefinition. Viel einfacher wirst du es nicht serviert bekommen.
> b) Ist [mm]\nabla[/mm] f(x) der Gradient von f an der Stelle x, dann
> ist [mm]\pi(\nabla[/mm] f(x)) = [mm]\nabla f(\pi(x))[/mm] der Gradient von f
> an der Stelle [mm]\pi(x)[/mm]
>
Auch hier hilft denke ich nur eins: sich hinsetzen und nachrechnen. Mehr als drei zeilen sind das vermutlich nicht.
> 2. Gibt es Literatur zu diesem Thema? Wenn ja, unter
> welchen Stichpunkten müsste ich suchen?
>
Mir ist nicht klar, was der sinn des ganzen sein soll bzw. wo nicht-triviale aspekte ins spiel kommen. Wenn Du uns diesbezueglich einweihen wuerdest, koennten wir vielleicht noch weiter helfen.
gruss
Matthias
> Vielen Dank und beste Grüße
>
> bjj
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 24.11.2009 | | Autor: | BJJ |
Hi,
danke für Deine Antwort.
Ich hatte gehofft, dass die Mathematik solche Dinge ausgiebig behandelt hat und es schon Beweise gibt. Ich dachte da an Fällen, wenn man den Quotienten eines Vektoraums mit einer Gruppe betrachtet. Funktionen auf den Quotienten können als Funkten auf den Vektorraum geschrieben werden, die invariant unter Gruppenaktionen sind. Da frage ich mich halt, ob Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit unabhängig von der Wahl des jeweiligen Repräsentaten einer Äquivalenzklasse sind.
Beste Grüße
bjj
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