Invariante Untervektorraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Do 23.05.2013 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in C^{n x n} [/mm] und C [mm] \in C^{m x n}
[/mm]
a) Für x Eigenwert von A ist kern(A-xI){k} ein A-invarianter Untervektorraum
b) Jeder A-invariante Untervektorraum V [mm] \subset C^{n}, V\not=\{0 } [/mm] enthält mindestens einen Eigenvektor von A |
Hallo,
ich habe leider nur sehr schwache Ansätze für die Aufgaben gefunden und stehe nun auf dem Schlauch.
Bis jetzt kennen wir nur die Def. von Invariante Untervektorraum.
a) der Eigenvektor v bezüglich x ist Element von kern(A-xI){k}.
b) Leider habe ich keinen Ansatz, ich glaube das ich es über den Fundamentalsatz der Algebra lösen kann, das ist aber nur eine Vermutung.
Ich weis das die Ansätze sehr dünn sind bitte helft mir weiter
Danke
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> Sei A [mm]\in C^{n x n}[/mm] und C [mm]\in C^{m x n}[/mm]
> a) Für x
> Eigenwert von A ist [mm] U:=kern(A-xI)^{k} [/mm] ein A-invarianter
> Untervektorraum
> b) Jeder A-invariante Untervektorraum V [mm]\subset C^{n}, V\not=\{0 }[/mm]
> enthält mindestens einen Eigenvektor von A
> Hallo,
> ich habe leider nur sehr schwache Ansätze für die
> Aufgaben gefunden und stehe nun auf dem Schlauch.
> Bis jetzt kennen wir nur die Def. von Invariante
> Untervektorraum.
>
> a) der Eigenvektor v bezüglich x ist Element von
> [mm] kern(A-xI)^{k}.
[/mm]
Hallo,
ja. Das gilt für jeden Eigenvektor v zum Eigenwert x.
Überlegen müßtest Du Dir jetzt mal, was es bedeutet, daß [mm] U:=kern(A-xI)^{k} [/mm] ein A-invarianter Unterraum ist.
Ohne diese Def. zu kennen, wissen wir ja nicht, was wir zeigen sollen.
b) können wir später überlegen.
LG Angela
> b) Leider habe ich keinen Ansatz, ich glaube das ich es
> über den Fundamentalsatz der Algebra lösen kann, das ist
> aber nur eine Vermutung.
>
> Ich weis das die Ansätze sehr dünn sind bitte helft mir
> weiter
> Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 23.05.2013 | | Autor: | Expo |
Ich muss zeigen das [mm] A*kern(A-xI)^{k} \subset kern(A-xI)^{k} [/mm] gilt.
Ich vermute das man es über die Gleichung Ax=xv zeigen kann.
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> Ich muss zeigen das [mm]A*kern(A-xI)^{k} \subset kern(A-xI)^{k}[/mm]
> gilt.
Hallo,
das sieht etwas abenteuerlich aus, auch wenn Du es richtig meinst.
Zu zeigen ist, daß für alle [mm] v\in kern(A-xI)^k [/mm] gilt: [mm] Av\in kern(A-xI)^k.
[/mm]
Dafür mußt Du vorrechnen, daß für [mm] v\in kern(A-xI)^k [/mm] gilt, daß [mm] (A-xI)^k*(Av)=0 [/mm] ist.
> Ich vermute das man es über die Gleichung Ax=xv
> zeigen
> kann.
Ich bin mir nicht sicher, ob hier nicht ein Mißverständnis vorliegt:
es stimmt, daß jeder Eigenvektor zum EW x in [mm] kern(A-xI)^k [/mm] ist.
Es stimmt aber nicht, daß jeder Vektor aus [mm] (A-xI)^k [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert x ist.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 23.05.2013 | | Autor: | Expo |
Hallo,
> Dafür mußt Du vorrechnen, daß für [mm]v\in kern(A-xI)^k[/mm]
> gilt, daß [mm](A-xI)^k*(Av)=0[/mm] ist.
Also muss immer [mm] (A-xI)^k=0 [/mm] oder (Av)=0 gelten.
[mm] \pmat{ a_{11}-x & a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22}-x & ... &a_{n2}} [/mm] ^{k} =0
oder
[mm] \vektor{a_{11}v_{1}+.... \\ -.....\\a_{1n}v_{n}+...}=0 [/mm] ist wohl der richtige fall, aber wie zeige ich nun das kern(A)=kern(A-xI)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:46 Fr 24.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Expo,
> > Dafür mußt Du vorrechnen, daß für [mm]v\in kern(A-xI)^k[/mm]
> > gilt, daß [mm](A-xI)^k*(Av)=0[/mm] ist.
>
> Also muss immer [mm](A-xI)^k=0[/mm] oder (Av)=0 gelten.
Nein.
Das würde stimmen, wenn das $*$ in [mm] $(A-xI)^k*(Av)$ [/mm] die Multiplikation eines Körpers oder die skalare Multiplikation eines Vektorraumes wäre.
Tatsächlich handelt es sich hier jedoch um die Multiplikation der Matrix [mm] $B:=(A-xI)^k$ [/mm] mit dem Vektor $w:=Av$.
Aus $B*w=0$ folgt noch lange nicht $B=0$ oder $w=0$.
Was bedeutet eigentlich [mm] $v\in kern(A-xI)^k$? [/mm] (Das benötigen wir natürlich!)
Es bedeutet [mm] $v\in\IC^n$ [/mm] mit [mm] $(A-xI)^k*v=0$.
[/mm]
Um [mm] $(A-xI)^k*(Av)=0$ [/mm] nachzuweisen, gilt es nun, den Term [mm] $(A-xI)^k*(Av)$ [/mm] so umzuformen, dass wir [mm] $(A-xI)^k*v=0$ [/mm] ins Spiel bringen können.
Starte mit
[mm] $(A-xI)^k*(Av)=((A-xI)^k*A)*v$
[/mm]
(das gilt, da die Multiplikation von Matrizen assoziativ ist und die Matrix-Vektor-Multiplikation als spezielle Matrix-Matrix-Multiplikation aufgefasst werden kann).
Ziel ist wie gesagt irgendein Ausdruck mit [mm] $(A-xI)^k*v$. [/mm] Also ist es erstrebenswert, die Matrix [mm] $(A-xI)^k$ [/mm] in [mm] $(A-xI)^k*A$ [/mm] "nach rechts umzuformen".
Um [mm] $(A-xI)^k*A$ [/mm] umzuformen, betrachte zunächst $(A-xI)*A$ und versuche, $A-xI$ "nach rechts zu bekommen".
Viele Grüße
Tobias
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