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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Invarianz und Diag.barkeit
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Invarianz und Diag.barkeit: Lösungsideen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Do 30.04.2009
Autor: Torquato

Aufgabe
Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Ferner seien f, g Homomorphismen von V nach V über K mit f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f. Zu zeigen:
(i) Ist [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von f, so ist der zugehörige Eigenraum g-invariant.

(ii) Ist V= [mm] \oplus [/mm] (von j=1 bis k) von [mm] U_j [/mm] eine Zerlegung von V in eine direkte Summe g-invarianter Untervektorräume [mm] U_j [/mm] , so ist g genau dann diagonalisierbar, wenn g eingeschränkt auf [mm] U_j [/mm] diagonalisierbar ist für alle j [mm] \in [/mm] {1, ..., k}.

(iii) Sind f und g diagonalisierbar, so besitzt V eine Basis, deren Elemente Eigenvektoren sowohl von f als auch von g sind.


Ich versuche, mir selbständig (ohne Vorlesungsbesuch) den kanonischen LA-II-Stoff zu erarbeiten. An dieser Aufgabe verzweifele ich jetzt aber irgendwie. Ich kenne zwar die Definition von Eigenwerten, Invarianz etc., kann  sie aber in dieser Aufgabe die Zusammenhänge irgendwie nicht herstellen. Für Hilfen und Lösungsvorschläge wäre ich sehr dankbar.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Invarianz und Diag.barkeit: zu Teil (i)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Do 30.04.2009
Autor: djmatey

Hallo,

hier mal ein Ansatz zu i):

Überlege dir, was aus folgender Gleichung für einen Eigenvektor v von f folgt:

(f [mm] \circ [/mm] g)(v) = (g [mm] \circ [/mm] f)(v) = [mm] g(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] g(v)

LG djmatey

Bezug
                
Bezug
Invarianz und Diag.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Do 30.04.2009
Autor: Torquato

Daß, wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von f ist, er es auch von g ist, und demenstsprechend [mm] g(V_\lambda) [/mm] wieder eine Teilmenge von [mm] V_\lambda [/mm] ist und damit g-invariant?

LG,
Torquato


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Invarianz und Diag.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Do 30.04.2009
Autor: angela.h.b.


> Daß, wenn [mm]\lambda[/mm] ein EW von f ist, er es auch von g ist,
> und demenstsprechend [mm]g(V_\lambda)[/mm] wieder eine Teilmenge von
> [mm]V_\lambda[/mm] ist und damit g-invariant?

Hallo,

[willkommenmr].

Hallo,

Du kannst die Definition von Eigenwert und Eigenvektor von f aufsagen? Auch die von Eigenraum?
Das ist die Grundvoraussetzung.

Nein, ein Eigenwert von g ist [mm] \lambda [/mm] nicht.

Aber was kannst Du aus [mm] f(g(v))=\lambda*g(v) [/mm]  ablesen?  (Wenn Du setzt w:=g(v), dann siehst Du es vermutlich schnell: g(v) ist =0 oder ein Eigenvektor von f.)

In welchem Raum liegt also g(v) für sämtliche Eigenvektoren zu [mm] \lambda? [/mm]

Gruß v. Angela



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Bezug
Invarianz und Diag.barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Do 30.04.2009
Autor: Torquato


Ah, ja. Genau wieder in [mm] V_\lambda. [/mm] Damit ist dann gezeigt, daß [mm] V_\lambda [/mm] g-invariant ist.

Dann habe ich jetzt glaube ich Aufgabenteil a) verstanden.
Ich glaube, ich finde das ganze etwas undurchdringlich, weil vieles aus der Theorie der Eigenwerte hier bzw. im bald folgenden Satz von der Jordan-Normalform kulminiert.

Liebe Grüße,
Torquato

Bezug
        
Bezug
Invarianz und Diag.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Fr 01.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter
> K-Vektorraum. Ferner seien f, g Homomorphismen von V nach V
> über K mit f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f. Zu zeigen:
>  (i) Ist [mm]\lambda \in[/mm] K ein Eigenwert von f, so ist der
> zugehörige Eigenraum g-invariant.
>  
> (ii) Ist V= [mm]\oplus[/mm] (von j=1 bis k) von [mm]U_j[/mm] eine Zerlegung
> von V in eine direkte Summe g-invarianter Untervektorräume
> [mm]U_j[/mm] , so ist g genau dann diagonalisierbar, wenn g
> eingeschränkt auf [mm]U_j[/mm] diagonalisierbar ist für alle j [mm]\in[/mm]
> {1, ..., k}.

Hallo,

beachte bitte, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.

Sonst wissen wir doch gar nicht, wo und wie wir Dir helfen können.

Was bedeutet es, daß [mm] V=\bigoplus_{j=1}^{k}U_i [/mm] eine Zerlegung in eine direkte Summe von Unterräumen ist?

Was bedeutet es, wenn die [mm] U_i [/mm] invariant sind?

Was bedeutet es, wenn g diagonalisierbar ist, was bedeutet es, wenn g eingeschränkt auf den jeweiligen Unterraum diagonalisierbar ist?

Erst wenn diese Dinge geklärt sind, kann man sinnvoll einen Beweis versuchen.

Gruß v. Angela



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