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Hallo,
ich habe eine Frage zu Inversen und dem, was mir Inversen sagen.
Mit Inversen kann ich angeblich prüfen, ob meine Matrix regulär ist, d.h. ob mein Rang =n ist, d.h. ob ich also genau 1 Lösung habe, also ob meine Vektoren alle linear unabhängig sind.
Ist das so richtig?
Dann habe ich noch den Satz gefunden:
"Die j-te Spalte von [mm] A^{-1} [/mm] ist die Lösung für [mm] Ax=e_j".
[/mm]
Kann mir das jemand erläutern? Ich nehme an, [mm] e_j [/mm] ist der EInheitsvektor.
Lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Sa 31.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu Inversen und dem, was mir Inversen
> sagen.
>
> Mit Inversen kann ich angeblich prüfen, ob meine Matrix
> regulär ist,
Und wie soll das funktionieren? Die Existenz einer Inversen ist
gleichbedeutend damit, dass die Matrix regulaer ist.
> d.h. ob mein Rang =n ist,
D.h., die Matrix ist regulaer, wenn ihr Rang n. (Ob *dein* Rang n ist, vermag ich nicht zu sagen.)
> d.h. ob ich also
> genau 1 Lösung habe,
Wovon?
> also ob meine Vektoren alle linear
> unabhängig sind.
Poste mal deine Vektoren.
>
> Ist das so richtig?
Bedingt.
>
> Dann habe ich noch den Satz gefunden:
>
> "Die j-te Spalte von [mm]A^{-1}[/mm] ist die Lösung für [mm]Ax=e_j".[/mm]
>
> Kann mir das jemand erläutern? Ich nehme an, [mm]e_j[/mm] ist der
> EInheitsvektor.
Schreibe [mm] $A^{-1}=(b_1,\dots,b_n)$. [/mm] Dann ist
[mm] $(Ab_1,\dots,Ab_n)=A(b_1,\dots,b_n) =AA^{-1}=I=(e_1,\dots,e_n)$.
[/mm]
vg Luis
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Ich habe zB die Matrix
1 2 0
2 3 0
1 -1 1
Meine Inverse ist
-3 2 0
2 -1 0
5 -3 1
Angeblich sind die Spaltenvektoren damit linear unabhängig.
Und bei Unabhängigkeit müsste doch gelten, dass der Rang=n ist, ich also genau eine Lösung habe. Aber ich weiß eben nicht, auch wenn das hier wohl auch rauskommen würde, ob das allgemein so ist. Dann kann ich nämlich aus meiner Inversen recht vieles ableiten.
zum zweiten Teil: Sagt mir
> > "Die j-te Spalte von [mm]A^{-1}[/mm] ist die Lösung für [mm]Ax=e_j".[/mm]
> >
> > Kann mir das jemand erläutern? Ich nehme an, [mm]e_j[/mm] ist
> der
> > EInheitsvektor.
>
> Schreibe [mm]A^{-1}=(b_1,\dots,b_n)[/mm]. Dann ist
> [mm](Ab_1,\dots,Ab_n)=A(b_1,\dots,b_n) =AA^{-1}=I=(e_1,\dots,e_n)[/mm].
einfach nur dass meine Matrix mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziert die EInheitsmatrix ergibt?
Aber hier geht es um den j-ten Spaltenvektor. Das verstehe ich nicht.
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Hallo Englein,
> Ich habe zB die Matrix
>
> 1 2 0
> 2 3 0
> 1 -1 1
>
> Meine Inverse ist
>
> -3 2 0
> 2 -1 0
> 5 -3 1
>
> Angeblich sind die Spaltenvektoren damit linear
> unabhängig.
> Und bei Unabhängigkeit müsste doch gelten, dass der Rang=n
> ist, ich also genau eine Lösung habe. Aber ich weiß eben
> nicht, auch wenn das hier wohl auch rauskommen würde, ob
> das allgemein so ist. Dann kann ich nämlich aus meiner
> Inversen recht vieles ableiten.
Eine Inverse existiert nur, wenn der Rang der ursprünglichen Matrix n ist. Das ist dann zugleich der Rang der Inversen.
> zum zweiten Teil: Sagt mir
>
> > > "Die j-te Spalte von [mm]A^{-1}[/mm] ist die Lösung für [mm]Ax=e_j".[/mm]
> > >
> > > Kann mir das jemand erläutern? Ich nehme an, [mm]e_j[/mm] ist
> > der
> > > EInheitsvektor.
Ja, der j-te Einheitsvektor.
> > Schreibe [mm]A^{-1}=(b_1,\dots,b_n)[/mm]. Dann ist
> > [mm](Ab_1,\dots,Ab_n)=A(b_1,\dots,b_n) =AA^{-1}=I=(e_1,\dots,e_n)[/mm].
>
> einfach nur dass meine Matrix mit [mm]A^{-1}[/mm] multipliziert die
> EInheitsmatrix ergibt?
Schon. Aber das beinhaltet doch genau die gesuchte Aussage. Führ Dir nochmal vor Augen, wie Matrizen multipliziert werden und wofür die Einsen in der Einheitsmatrix stehen.
> Aber hier geht es um den j-ten Spaltenvektor. Das verstehe
> ich nicht.
Grüße,
reverend
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> Eine Inverse existiert nur, wenn der Rang der
> ursprünglichen Matrix n ist. Das ist dann zugleich der Rang
> der Inversen.
Ich dachte das sei genau andersrum. Dass ich aus der Inversen schließen kann, dass der Rang meiner Matrix =n ist.
>
> > > Schreibe [mm]A^{-1}=(b_1,\dots,b_n)[/mm]. Dann ist
> > > [mm](Ab_1,\dots,Ab_n)=A(b_1,\dots,b_n) =AA^{-1}=I=(e_1,\dots,e_n)[/mm].
>
> >
> > einfach nur dass meine Matrix mit [mm]A^{-1}[/mm] multipliziert die
> > EInheitsmatrix ergibt?
>
> Schon. Aber das beinhaltet doch genau die gesuchte Aussage.
> Führ Dir nochmal vor Augen, wie Matrizen multipliziert
> werden und wofür die Einsen in der Einheitsmatrix stehen.
>
Ich weiß nicht, was du mir damit sagen willst.
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> > Eine Inverse existiert nur, wenn der Rang der
> > ursprünglichen Matrix n ist. Das ist dann zugleich der Rang
> > der Inversen.
>
> Ich dachte das sei genau andersrum. Dass ich aus der
> Inversen schließen kann, dass der Rang meiner Matrix =n
> ist.
>
Hallo,
es ist so:
wenn Du eine nxn-Matrix A hast, und wenn Dir gleichzeitig eine Matrix B serviert wird mit AB=I, dann ist B die inverse Matrix zu A, und Du weißt, daß es nicht anders sein kann, als daß A und B den Rang n haben.
Stellst Du fest, daß eine Dir vorliegende nxn-Matrix A den Rang n hat, dann weißt Du, daß sie eine inverse Matrix besitzt, daß es also sinnvoll ist, nach dieser zu suchen.
Gruß v. Angela
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> >
> > > > Schreibe [mm]A^{-1}=(b_1,\dots,b_n)[/mm]. Dann ist
> > > > [mm](Ab_1,\dots,Ab_n)=A(b_1,\dots,b_n) =AA^{-1}=I=(e_1,\dots,e_n)[/mm].
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> > >
> > > einfach nur dass meine Matrix mit [mm]A^{-1}[/mm] multipliziert die
> > > EInheitsmatrix ergibt?
> >
> > Schon. Aber das beinhaltet doch genau die gesuchte Aussage.
> > Führ Dir nochmal vor Augen, wie Matrizen multipliziert
> > werden und wofür die Einsen in der Einheitsmatrix stehen.
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>
> Ich weiß nicht, was du mir damit sagen willst.
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Hallo Englein,
Du suchtest doch einen Grund hierfür:
"Die j-te Spalte von $ [mm] A^{-1} [/mm] $ ist die Lösung für $ [mm] Ax=e_j". [/mm] $
Besser wäre die Schreibweise ... für [mm] A\vec{x}=\vec{e}_j
[/mm]
Jetzt stell Dir mal [mm] A*A^{-1} [/mm] hin. Womit wird die j-te Spalten denn alles multipliziert? Wohin kommen die Ergebnisse in der schon bekannten Ergebnismatrix? Bilden diese Ergebnisse zusammen [mm] \vec{e}_j [/mm] ?
Grüße,
reverend
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