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| Aufgabe | | Es sei [mm] \underline{V} [/mm] eine reelle n [mm] \times [/mm] n -Matrix, deren Zeilenvektoren [mm] \underline{v}_{1},...,\underline{v}_{n} \in \IR^{n} [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^{n} [/mm] bilden. Geben Sie [mm] \underline{V}^{-1} [/mm] an. |
Hallo und guten Abend,
komme mit obiger Aufgabe nicht klar.
Orthonormalbasis bedeutet doch, die Vektoren stehen senkrecht aufeinander und alle haben die Norm 1. Da die Zeilenvektoren eben diese Orthonormalbasis bilden ist die Matrix auch invertierbar.
Gilt hier [mm] \underline{V}^{-1}=\underline{V}^{T}?
[/mm]
Tja, aber wie sieht die Inverse aus?
[mm] \underline{V}= \pmat{ v_{1}_{1} & ... & v_{1}_{n} \\ v_{2}_{1} & ... & v_{2}_{n} \\ ... \\ v_{n}_{1} & ... & v_{n}_{n} }, [/mm] ist dann [mm] \underline{V}^{-1}=\pmat{ v_{1}_{1} & ... & v_{n}_{1} \\ v_{1}_{2} & ... & v_{n}_{2} \\ ... \\ v_{1}_{n} & ... & v_{n}_{n}} [/mm] ?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
MfG
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Es sei [mm]\underline{V}[/mm] eine reelle n [mm]\times[/mm] n -Matrix, deren
> Zeilenvektoren [mm]\underline{v}_{1},...,\underline{v}_{n} \in \IR^{n}[/mm]
> eine Orthonormalbasis des [mm]\IR^{n}[/mm] bilden. Geben Sie
> [mm]\underline{V}^{-1}[/mm] an.
> Hallo und guten Abend,
>
> komme mit obiger Aufgabe nicht klar.
>
> Orthonormalbasis bedeutet doch, die Vektoren stehen
> senkrecht aufeinander und alle haben die Norm 1. Da die
> Zeilenvektoren eben diese Orthonormalbasis bilden ist die
> Matrix auch invertierbar.
>
> Gilt hier [mm]\underline{V}^{-1}=\underline{V}^{T}?[/mm]
>
> Tja, aber wie sieht die Inverse aus?
>
> [mm]\underline{V}= \pmat{ v_{1}_{1} & ... & v_{1}_{n} \\ v_{2}_{1} & ... & v_{2}_{n} \\ ... \\ v_{n}_{1} & ... & v_{n}_{n} },[/mm]
> ist dann [mm]\underline{V}^{-1}=\pmat{ v_{1}_{1} & ... & v_{n}_{1} \\ v_{1}_{2} & ... & v_{n}_{2} \\ ... \\ v_{1}_{n} & ... & v_{n}_{n}}[/mm]
> ?
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
Bist doch fast fertig.
Wenn A und B [mm] n\times [/mm] n Matrizen sind, dann ist das Element von [mm] (A*B)_{ik} [/mm] das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B. Du suchst ein B, so dass die Einheitsmatrix herauskommt.
LG
gfm
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Hallo gfm,
kann mit deinem Hinweis noch nicht so richtig was anfangen. Könntest du das noch etwas erläutern?
LG
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Hallo!
Bilden die Spalten einer Matrix V eine Orthonormalbasis, so ist V gerade orthogonal, d.h. es gilt [mm] $V^{-1} [/mm] = [mm] V^{T}$.
[/mm]
Du kannst das auch ganz leicht verifizieren: Ist $V = [mm] (v_{1},...,v_{n})$, [/mm] wobei also die Vektoren [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine ONB bilden, dann ist:
[mm] $V^{T}*V [/mm] = [mm] \vektor{- & v_{1}^{T} & -\\ ... & ... & ... \\ - & v_{n}^{T} & -}*\pmat{| & ... & | \\ v_{1} & ... & v_{n} \\ | & ... & |} [/mm] = [mm] \pmat{v_{1}^{T}*v_{1} & v_{1}^{T}v_{2} & ... & ... & v_{1}^{T}v_{n}\\ v_{2}^{T}*v_{1} & v_{2}^{T}v_{2} & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & v_{n-1}^{T}v_{n-1} & v_{n-1}^{T}v_{n}\\ v_{n}^{T}*v_{1} & ... & ... & v_{n}^{T}v_{n-1} & v_{n}^{T}v_{n}\\}$
[/mm]
$= [mm] \pmat{ & & ... & ... & \\ & & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & & \\ & ... & ... & & \\}$.
[/mm]
Nun anwenden, das [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] ONB.
Grüße,
Stefan
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