Inverse < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei [mm] A=[a_{ij}] \in Gl_{n}(\IR) [/mm] mit [mm] a_{ij} \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie folgende Aussagen:
[mm] (i)A^{-1} \in \IQ^{n,n}.
[/mm]
[mm] (ii)A^{-1} \in \IZ^{n,n} [/mm] genau dann, wenn det(A) [mm] \in \{\pm 1\}.
[/mm]
(iii) Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat fuer jedes b [mm] \in \IZ^{n,1} [/mm] eine eindeutige Loesung x(Hut) [mm] \in \IZ^{n,1} [/mm] genau dann, wenn det(A) [mm] \in \{\pm 1\} [/mm] |
Hallo lieber Leser,
zu (i) und (ii) habe ich Loesungsideen, nur weiss ich nicht, ob ich auf dem Holzweg bin und meine Ideen fuer einen Beweis nicht ausreichen:
Also:
Loesung (i)
Da [mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\bruch{1}{det(A)}\pmat{ a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22}& ... & a_{n2} \\ ... & ...& ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n}& ... & a_{nn}}=\pmat{ \bruch{a_{11}}{det(A)} & \bruch{a_{21}}{det(A)} & ... & \bruch{a_{n1}}{det(A)}\\ \bruch{a_{12}}{det(A)} & \bruch{a_{22}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{n2}}{det(A)} \\ ... & ...& ... & ... \\ \bruch{a_{1n}}{det(A)} & \bruch{a_{2n}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{nn}}{det(A)}}
[/mm]
und da [mm] \IQ [/mm] = [mm] \{x|x=\bruch{a}{b} \ mit \ a \in \IZ \ und \ b \in \IN\} [/mm] gilt [mm] A^{-1} \in \IQ^{n,n}.
[/mm]
Mir ist bekannt das det(A) auch [mm] \in \IZ [/mm] sein kann, allerdings kann man fuer diesen Fall das Vorzeichen rausziehen und nach oben packen, also [mm] \bruch{1}{-5}=-\bruch{1}{5}=\bruch{-1}{5}.
[/mm]
Loesung (ii)
Voraussetzung: det(A) [mm] \in {\pm 1}
[/mm]
Dann gilt [mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\pm\bruch{1}{1}*adj(A)
[/mm]
Da A [mm] \in \IZ [/mm] ist adj(a) auch [mm] \in \IZ [/mm] und somit auch [mm] A^{-1}\in \IZ
[/mm]
andere Richtung:
Voraussetzung: [mm] A^{-1} \in \IZ^{n,n}
[/mm]
Dann gilt, da A [mm] \in \IZ [/mm] und adj(a) [mm] \in \IZ [/mm] ist, muss det(A) [mm] \in {\pm 1}, [/mm] da sonst [mm] A^{-1} \in \IQ [/mm] (Was ein Widerspruch zur Voraussetzung waere).
Fuer mich klingt das total logisch, aber da das nix zu sagen hat, frage ich ob das so geht, oder wie ich am besten vorgehen kann.
silfide
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]A=[a_{ij}] \in Gl_{n}(\IR)[/mm] mit [mm]a_{ij} \in \IZ.[/mm] Zeigen
> Sie folgende Aussagen:
> [mm](i)A^{-1} \in \IQ^{n,n}.[/mm]
> [mm](ii)A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm] genau
> dann, wenn det(A) [mm]\in {\pm 1}.[/mm]
> (iii) Das lineare
> Gleichungssystem Ax=b hat fuer jedes b [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] eine
> eindeutige Loesung x(Hut) [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] genau dann, wenn
> det(A) [mm]\in {\pm 1}[/mm]
> Hallo lieber Leser,
>
> zu (i) und (ii) habe ich Loesungsideen, nur weiss ich
> nicht, ob ich auf dem Holzweg bin und meine Ideen fuer
> einen Beweis nicht ausreichen:
>
> Also:
> Loesung (i)
>
> Da [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\bruch{1}{det(A)}\pmat{ a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22}& ... & a_{n2} \\ ... & ...& ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n}& ... & a_{nn}}=\pmat{ \bruch{a_{11}}{det(A)} & \bruch{a_{21}}{det(A)} & ... & \bruch{a_{n1}}{det(A)}\\ \bruch{a_{12}}{det(A)} & \bruch{a_{22}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{n2}}{det(A)} \\ ... & ...& ... & ... \\ \bruch{a_{1n}}{det(A)} & \bruch{a_{2n}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{nn}}{det(A)}}[/mm]
>
> und da [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{x|x=\bruch{a}{b} \ mit \ a \in \IZ \ und \ b \in \IN\}[/mm]
> gilt [mm]A^{-1} \in \IQ^{n,n}.[/mm]
>
> Mir ist bekannt das det(A) auch [mm]\in \IZ[/mm] sein kann,
> allerdings kann man fuer diesen Fall das Vorzeichen
> rausziehen und nach oben packen, also
> [mm]\bruch{1}{-5}=-\bruch{1}{5}=\bruch{-1}{5}.[/mm]
Ich meine, das ist richtig.
>
>
> Loesung (ii)
>
> Voraussetzung: det(A) [mm]\in {\pm 1}[/mm]
> Dann gilt
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\pm\bruch{1}{1}*adj(A)[/mm]
> Da A [mm]\in \IZ[/mm] ist adj(a) auch [mm]\in \IZ[/mm] und somit auch
> [mm]A^{-1}\in \IZ[/mm]
>
> andere Richtung:
> Voraussetzung: [mm]A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm]
> Dann gilt, da A [mm]\in \IZ[/mm]
> und adj(a) [mm]\in \IZ[/mm] ist, muss det(A) [mm]\in {\pm 1},[/mm] da sonst
> [mm]A^{-1} \in \IQ[/mm] (Was ein Widerspruch zur Voraussetzung
> waere).
>
> Fuer mich klingt das total logisch, aber da das nix zu
> sagen hat, frage ich ob das so geht, oder wie ich am besten
> vorgehen kann.
Koennte [mm] $\det [/mm] A$ nicht auch ein Teiler [mm] $\neq [/mm] 1$ aller Eintraege sein? Ueberlege Dir, was mit [mm] $\det [/mm] A$ in [mm] $\IZ$ [/mm] los ist, wenn $A$ invertierbar ist und beachte, dass [mm] $\IZ$ [/mm] nicht viele Einheiten hat.
>
> silfide
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 15.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Hippias,
> > Loesung (ii)
> > Voraussetzung: det(A) [mm]\in {\pm 1}[/mm]
> > Dann gilt
> > [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\pm\bruch{1}{1}*adj(A)[/mm]
> > Da A [mm]\in \IZ[/mm] ist adj(a) auch [mm]\in \IZ[/mm] und somit auch
> > [mm]A^{-1}\in \IZ[/mm]
> >
> > andere Richtung:
> > Voraussetzung: [mm]A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm]
> > Dann gilt, da A
> [mm]\in \IZ[/mm]
> > und adj(a) [mm]\in \IZ[/mm] ist, muss det(A) [mm]\in {\pm 1},[/mm] da sonst
> > [mm]A^{-1} \in \IQ[/mm] (Was ein Widerspruch zur Voraussetzung
> > waere).
> >
> > Fuer mich klingt das total logisch, aber da das nix zu
> > sagen hat, frage ich ob das so geht, oder wie ich am besten
> > vorgehen kann.
> Koennte [mm]\det A[/mm] nicht auch ein Teiler [mm]\neq 1[/mm] aller
> Eintraege sein? Ueberlege Dir, was mit [mm]\det A[/mm] in [mm]\IZ[/mm] los
> ist, wenn [mm]A[/mm] invertierbar ist und beachte, dass [mm]\IZ[/mm] nicht
> viele Einheiten hat.
Ich denke nicht, das det (A) ein Teiler aller Eintraege sein koennte, da A auch [mm] \in Gl_{n} [/mm] ist und somit alle Spalten und Zeilen linear unabhaenig sind. Waer det (A) ein Teiler von allen Eintraegen dann waeren sie doch nicht linear unabhaengig. Oder?
Silfide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo Hippias,
>
> > > Loesung (ii)
> > > Voraussetzung: det(A) [mm]\in {\pm 1}[/mm]
> > > Dann gilt
> > > [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\pm\bruch{1}{1}*adj(A)[/mm]
> > > Da A [mm]\in \IZ[/mm] ist adj(a) auch [mm]\in \IZ[/mm] und somit auch
> > > [mm]A^{-1}\in \IZ[/mm]
> > >
> > > andere Richtung:
> > > Voraussetzung: [mm]A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm]
> > > Dann
> gilt, da A
> > [mm]\in \IZ[/mm]
> > > und adj(a) [mm]\in \IZ[/mm] ist, muss det(A) [mm]\in {\pm 1},[/mm] da sonst
> > > [mm]A^{-1} \in \IQ[/mm] (Was ein Widerspruch zur Voraussetzung
> > > waere).
> > >
> > > Fuer mich klingt das total logisch, aber da das nix zu
> > > sagen hat, frage ich ob das so geht, oder wie ich am besten
> > > vorgehen kann.
> > Koennte [mm]\det A[/mm] nicht auch ein Teiler [mm]\neq 1[/mm] aller
> > Eintraege sein? Ueberlege Dir, was mit [mm]\det A[/mm] in [mm]\IZ[/mm] los
> > ist, wenn [mm]A[/mm] invertierbar ist und beachte, dass [mm]\IZ[/mm] nicht
> > viele Einheiten hat.
>
> Ich denke nicht, das det (A) ein Teiler aller Eintraege
> sein koennte, da A auch [mm]\in Gl_{n}[/mm] ist und somit alle
> Spalten und Zeilen linear unabhaenig sind. Waer det (A) ein
> Teiler von allen Eintraegen dann waeren sie doch nicht
> linear unabhaengig. Oder?
Die lineare Unabhaengigkeit wuerde davon nicht beruehrt; aber vergiss die Bemerkung: Es geht vielmehr darum, ob [mm] $\det [/mm] A$ in [mm] $\IZ$ [/mm] invertierbar ist.
>
> Silfide
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 15.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Hipias,
wenn A invertierbar und [mm] A^{-1} [/mm] die Inverse ist, dann ist doch auch det(A) invertierbar mit [mm] det(A)^{-1}=det(A^{-1}).
[/mm]
Aber was hat das mit dem Beweis zutun? Steh auf dem Schlauch....
Silfide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hippias |
Also ist [mm] $\det [/mm] A$ eine ganze Zahl, die in [mm] $\IZ$ [/mm] invertierbar ist...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Fr 15.06.2012 | | Autor: | silfide |
Ja, genau - aber spielt das eine Rolle, wenn ich wie in (i) vorgehe und wieder sage, dass det(A) [mm] \in \IN [/mm] ist, weil [mm] \bruch{1}{-4}=-\bruch{1}{4}=\bruch{-1}{4} [/mm] ??
Ich komme nicht drauf!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, genau - aber spielt das eine Rolle, wenn ich wie in (i)
> vorgehe und wieder sage, dass det(A) [mm]\in \IN[/mm] ist, weil
> [mm]\bruch{1}{-4}=-\bruch{1}{4}=\bruch{-1}{4}[/mm] ??
>
> Ich komme nicht drauf!
wo hängt's? Denn ich verstehe nicht, was Du eigentlich fragen willst. Hippias sagte (ohne, dass ich mir auch nur den Rest der Aufgabe angeguckt habe), dass ihr als Zwischenresultat nun irgendwie gefolgert habt, dass [mm] $\det(A)=:z \in \IZ$ [/mm] ist so, dass auch [mm] $\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}=z^{-1}\in \IZ$ [/mm] gilt.
Welche Zahlen gibt's denn in [mm] $\IZ\,,$ [/mm] für die in [mm] $\IZ$ [/mm] eine weitere ganze Zahl existiert, so dass deren Produkt [mm] $1\,$ [/mm] ergibt? (Anders gefragt: Welche Zahlen $z [mm] \in \IZ$ [/mm] haben in [mm] $(\IZ,\cdot)$ [/mm] ein multiplikatives Inverses?)
Nun: Zu $1 [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt es [mm] $\red{1} \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $1*\red{1}=1\,.$ [/mm] Zu $-1 [mm] \in \IZ$ [/mm] existiert [mm] $\red{-1} \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $-1*(\red{-1})=1\,.$
[/mm]
Gibt's andere? Für $0 [mm] \in \IZ$ [/mm] ist solch' eine multiplikative Inverse in [mm] $\IZ$ [/mm] ausgeschlossen. Sei nun $m [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $|m| [mm] >1\,.$ [/mm] Angenommen, es gibt [mm] $\tilde{m} \in \IZ$ [/mm] mit $m * [mm] \tilde{m}=1\,.$ [/mm] Dann folgt aber auch
[mm] $$|m*\tilde{m}|=1\,,$$
[/mm]
also [mm] $|m|*|\tilde{m}|=\sum_{k=1}^{|\tilde{m}|} |m|=1\,.$
[/mm]
Für [mm] $|\tilde{m}| \ge [/mm] 1$ kann diese Gleichheit nie erfüllt sein. (Warum?) Also bleibt noch der Fall $0 [mm] \le |\tilde{m}| [/mm] < 1$ und [mm] $\tilde{m} \in \IZ\,:$
[/mm]
D.h. wir müssen uns noch den Fall [mm] $\tilde{m}=0$ [/mm] anschauen. Aber dass dann [mm] $m*\tilde{m}=1$ [/mm] auch nicht gelten kann, ist (Dir auch?) klar...
P.S.
Wenn Dir obige kleine Überlegungen noch unklar sind, überleg's Dir erstmal elementar an einem Beispiel:
Betrachte mal speziell $m:=-5 [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Angenommen, es gäbe ein [mm] $\tilde{m} \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $-5*\tilde{m}=1\,.$ [/mm] Jetzt kannst Du in [mm] $(\IR,+,*,<)\,$ [/mm] (oder [mm] $(\IQ,+,*,<)\,$) [/mm] rechnen und erkennst, dass dort [mm] $\tilde{m}=-1/5 \in \IQ \setminus \IZ\,$ [/mm] dann die eindeutige Lösung der oben genannten Gleichung ist.
Da wir so aber nicht unbedingt argumentieren wollen (bzw. oben argumentiert haben):
Was kann denn bei [mm] $-5*\tilde{z}$ [/mm] für [mm] $\tilde{z} \in \IZ$ [/mm] nur rauskommen? Oder anders gefragt: Welche Werte nimmt [mm] $|-5*\tilde{z}|$ [/mm] für [mm] $\tilde{z} \in \IZ$ [/mm] nur an?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo silfide,
wenn ich das richtig sehe: Ihr habt bisher hier nur bewiesen: Wenn $A [mm] \in \IZ^{n \times n}$ [/mm] eine Inverse in [mm] $\IZ^{n \times n}$ [/mm] hat, dann folgt, weil dann (etwa direkt nach Definition der Determinante - oder nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz) [mm] $\det A\,,$ $\det A^{-1}$ [/mm] beide in [mm] $\IZ$ [/mm] gelegen sind, mittels der obigen kleinen Überlegung sofort [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \{\pm 1\}\,.$
[/mm]
Jetzt gilt es aber auch noch, "die Umkehrung" zu zeigen:
D.h. unter der Voraussetzung, dass $A [mm] \in \IZ^{n \times n}$ [/mm] ist mit [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \{\pm 1\}$ [/mm] folgt schon, dass auch [mm] $A^{-1} \in \IZ^{n \times n}$ [/mm] ist. (Beachte: Ich verzichte hier entgegen der Aufgabenformulierung darauf, zu erwähnen, dass [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar sei: Denn aus [mm] $\det [/mm] A [mm] \not=0$ [/mm] folgt ja eh schon die Invertierbarkeit von [mm] $A\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:44 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> > Sei [mm]A=[a_{ij}] \in Gl_{n}(\IR)[/mm] mit [mm]a_{ij} \in \IZ.[/mm] Zeigen
> > Sie folgende Aussagen:
> > [mm](i)A^{-1} \in \IQ^{n,n}.[/mm]
> > [mm](ii)A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm]
> genau
> > dann, wenn det(A) [mm]\in {\pm 1}.[/mm]
> > (iii) Das lineare
> > Gleichungssystem Ax=b hat fuer jedes b [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] eine
> > eindeutige Loesung x(Hut) [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] genau dann, wenn
> > det(A) [mm]\in {\pm 1}[/mm]
> > Hallo lieber Leser,
> >
> > zu (i) und (ii) habe ich Loesungsideen, nur weiss ich
> > nicht, ob ich auf dem Holzweg bin und meine Ideen fuer
> > einen Beweis nicht ausreichen:
> >
> > Also:
> > Loesung (i)
> >
> > Da [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\bruch{1}{det(A)}\pmat{ a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22}& ... & a_{n2} \\ ... & ...& ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n}& ... & a_{nn}}=\pmat{ \bruch{a_{11}}{det(A)} & \bruch{a_{21}}{det(A)} & ... & \bruch{a_{n1}}{det(A)}\\ \bruch{a_{12}}{det(A)} & \bruch{a_{22}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{n2}}{det(A)} \\ ... & ...& ... & ... \\ \bruch{a_{1n}}{det(A)} & \bruch{a_{2n}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{nn}}{det(A)}}[/mm]
>
> >
> > und da [mm]\IQ[/mm] = [mm]\{x|x=\bruch{a}{b} \ mit \ a \in \IZ \ und \ b \in \IN\}[/mm]
> > gilt [mm]A^{-1} \in \IQ^{n,n}.[/mm]
> >
> > Mir ist bekannt das det(A) auch [mm]\in \IZ[/mm] sein kann,
> > allerdings kann man fuer diesen Fall das Vorzeichen
> > rausziehen und nach oben packen, also
> > [mm]\bruch{1}{-5}=-\bruch{1}{5}=\bruch{-1}{5}.[/mm]
> Ich meine, das ist richtig.
ja? Wenn ich [mm] $\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}*\pmat{1 & 0\\ 2 &1}$ [/mm] berechne, erhalte ich aber
[mm] $$\pmat{5 & 2 \\ 2 & 1}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo silfide,
> Sei [mm]A=[a_{ij}] \in Gl_{n}(\IR)[/mm] mit [mm]a_{ij} \in \IZ.[/mm] Zeigen
> Sie folgende Aussagen:
> [mm](i)A^{-1} \in \IQ^{n,n}.[/mm]
> [mm](ii)A^{-1} \in \IZ^{n,n}[/mm] genau
> dann, wenn det(A) [mm]\in \{\pm 1\}.[/mm]
> (iii) Das lineare
> Gleichungssystem Ax=b hat fuer jedes b [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] eine
> eindeutige Loesung x(Hut) [mm]\in \IZ^{n,1}[/mm] genau dann, wenn
> det(A) [mm]\in \{\pm 1\}[/mm]
>
>
> Hallo lieber Leser,
>
> zu (i) und (ii) habe ich Loesungsideen, nur weiss ich
> nicht, ob ich auf dem Holzweg bin und meine Ideen fuer
> einen Beweis nicht ausreichen:
>
> Also:
> Loesung (i)
>
> Da [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)=\bruch{1}{det(A)}\pmat{ a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22}& ... & a_{n2} \\ ... & ...& ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n}& ... & a_{nn}}=\pmat{ \bruch{a_{11}}{det(A)} & \bruch{a_{21}}{det(A)} & ... & \bruch{a_{n1}}{det(A)}\\ \bruch{a_{12}}{det(A)} & \bruch{a_{22}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{n2}}{det(A)} \\ ... & ...& ... & ... \\ \bruch{a_{1n}}{det(A)} & \bruch{a_{2n}}{det(A)}& ... & \bruch{a_{nn}}{det(A)}}[/mm]
was ist das für eine komische, neuartige Formel? Warte, ich wende sie mal an:
Ich setze [mm] $A:=\pmat{1 & 2 \\ 0 &1}\,,$ [/mm] dann ist (nachrechnen) [mm] $A^{-1}=\pmat{1 & -2 \\ 0 &1}\,.$
[/mm]
(Und diese Inverse ist eindeutig bestimmt!)
Wegen [mm] $\det A=1*1-0*2=1\,$ [/mm] sollte nach Deiner Formel aber gelten
[mm] $$A^{-1}=\frac{1}{1}*A^T=\pmat{1 & 0 \\ 2 & 1}\,.$$
[/mm]
Komisch, oder?
P.S.
Die Formel [mm] $A^{-1}=\frac{1}{\det A}adj(A)$ [/mm] ist schon korrekt. Aber Du musst Dir mal klarmachen, was hier adj(A) ist:
![[]](/images/popup.gif) siehe etwa hier, Definition 12.9.
Das ist nicht die Transponierte von [mm] $A\,,$ [/mm] sondern von [mm] $K\,,$ [/mm] der Matrix gebildet mit den algebraischen Komplementen von [mm] $a_{ij}\,.$ [/mm] (Man nennt daher Euer [mm] $adj(A)\,$ [/mm] besser auch Komplementärmatrix von [mm] $A\,.$ [/mm] Denn natürlich neigt man, wenn man die obige Formel sieht, sofort dazu, zu denken, dass ja die adjungierte einer Matrix nichts anderes als die konjugiert transponierte ist. Aber kurzes nachdenken: "Warum wenden wir laufend so komplizierte Algorithmen zur Berechnung der Inversen einer Matrix an? Wenn wir doch einfach nur [mm] $A*A^T\,$ [/mm] ausrechnen müßten und dann sehen würden, ob da [mm] $k*I\,$ [/mm] rauskommt, wüßten wir doch sofort, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht - und dann auch direkt gegebenenfalls mit [mm] $1/k*I\,$ [/mm] die Inverse hätten?!" zeigt doch, dass die Formel mit [mm] $adj(A)=A^T$ [/mm] jedenfalls viel zu einfach wäre...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Sa 16.06.2012 | | Autor: | hippias |
Sehr scharf beobachtet! Da die Formel irgendwie vertraut und richtig aussah, habe ich uebersehen, dass man noch transponieren muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> Sehr scharf beobachtet! Da die Formel irgendwie vertraut
> und richtig aussah, habe ich uebersehen, dass man noch
> transponieren muss.
wenn's nur eine Transposition wäre: [mm] $adj(A)\,$ [/mm] ist eine komplett andere Matrix, die hängt auf etwas kompliziertere Weise mit [mm] $A\,$ [/mm] zusammen, als wenn da nur Matrixeinträge von [mm] $A\,$ [/mm] zu vertauschen wären.
Schau' Dir auch mal den Link an, den ich silfide mitgegeben habe. (Oder schau' mal hier, Definition 8.5):
[mm] $adj(A)\,$ [/mm] ist "die Komplementärmatrix" - da ist nicht einfach nur [mm] $A\,$ [/mm] zu transponieren. Deswegen finde ich in der Formel auch die Bezeichnung schlecht, weil [mm] $adj(A)\,$ [/mm] natürlich direkt den Eindruck erweckt, dass da wirklich einfach die adjungierte von [mm] $A\,$ [/mm] gemeint sei.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 16.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
okay, dein Beispiel habe ich nachgerechnet und dein Link habe ich mir angeschaut - ausgedruckt - also versucht nachzuvollziehen.
Ich versuche jetzt einfach mal meine Gedanken zu notieren:
(für ne [mm] 2\times2 [/mm] Matrix)
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}adj(A)=\bruch{1}{det(A)}K^{T}=\bruch{1}{det(A)}\pmat{k_{11} & k_{21} \\ k_{12} & k_{22}}
[/mm]
Allerdings dürfte der geforderte Beweis deshalb nicht mehr ganz so leicht sein. Oder war der Grundgedank trotzdem richtig??
Silfide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo silfide,
> Hallo Marcel,
>
> okay, dein Beispiel habe ich nachgerechnet und dein Link
> habe ich mir angeschaut - ausgedruckt - also versucht
> nachzuvollziehen.
>
> Ich versuche jetzt einfach mal meine Gedanken zu notieren:
> (für ne [mm]2\times2[/mm] Matrix)
>
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}adj(A)=\bruch{1}{det(A)}K^{T}=\bruch{1}{det(A)}\pmat{k_{11} & k_{21} \\ k_{12} & k_{22}}[/mm]
>
> Allerdings dürfte der geforderte Beweis deshalb nicht mehr
> ganz so leicht sein. Oder war der Grundgedank trotzdem
> richtig??
naja, wenn doch [mm] $adj(A)\,$ [/mm] diese Komplementärmatrix bezeichnet, dann ist schon klar, dass [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \IZ$ [/mm] für $A [mm] \in \IZ^{n \times n}\,.$ [/mm] (Das folgt aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz.) Das heißt, bei der Folgerung
$$A [mm] \in \IZ^{n \times n} \text{ invertierbar mit }A^{-1} \in \IZ^{n \times n} \Rightarrow \det [/mm] A [mm] \in \{\pm 1\}$$
[/mm]
brauchen wir keine neuen Überlegungen. Die Umkehrung musst Du Dir natürlich überlegen... (Aber das sollte mit Deiner Formel auch nicht so schwer sein.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 19.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
danke für die Geduld und die Erklärungen - denke ich habe es hinbekommen (und sogar endlich die Adjunke verstanden!), wenn nicht lasse ich es mir bei Rückgabe vom Tutor erklären ...
Silfide
|
|
|
|
