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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Inverse
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Inverse: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mo 18.06.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Bestimmen sie das Inverse der Matrix


[mm] A=\pmat{ 1 &3& 2 \\ 2&4 & 4 \\3&1&2 } \in [/mm] Mat(3 [mm] \times [/mm] 3 ; [mm] \IF_{71}) [/mm]

Hallo,

was bedeutet denn das [mm] \IF_{71} [/mm] genau?
Dürfen in den Matrizen dann nur die Zahlen "0" bis "6" vorkommen, also auch in der Inversen? Ist mir überhaupt nicht klar, über Hinweise würde ich mich sehr freuen.

        
Bezug
Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 18.06.2012
Autor: wieschoo

[mm] $\IF_{71}$ [/mm] ist ein endlicher Körper. Da 71 eine Primzahl ist (vermute ich), kann in diesem Körper genauso gerechnet werden, wie in [mm] $\IZ/71\IZ$ [/mm] .

Hier ist z.b. -8=63.

Oder steht da [mm] $\IF_7$? [/mm] Dann hast du Recht, dann wird addiert wie in [mm] $\IZ/7\IZ$. [/mm]

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Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Di 19.06.2012
Autor: Big_Head78

Also dann mal an die Arbeit:

1. Ich bestimme det(A)=8+36+4-(24+4+12)=8 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Inverse ex.

2. Ich möchte das mit dem "Kochrezept" lösen:

[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A_{adj} [/mm]

So mal die ersten zwei Unterdeterminanten:

[mm] D_{11}=4*2-1*4=4 \Rightarrow A_{11}=4 [/mm]
[mm] D_{11}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{11}=-(-8) [/mm]

Ist das richtig so? Also was mich hier verwirrt, ich sehe bislang nicht, wie das [mm] \IF_{71} [/mm] hier zu berücksichtigen ist...ich denke da vor allem bei der Komplementbildung könnte ich mir gut vorstellen, dass ich da Rücksicht drauf nehmen müsste. Über etwas Erläuterung würde ich micht sehr freuen.

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Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 19.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,

> Also dann mal an die Arbeit:
>  
> 1. Ich bestimme det(A)=8+36+4-(24+4+12)=8 [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Inverse ex.
>  
> 2. Ich möchte das mit dem "Kochrezept" lösen:
>  
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A_{adj}[/mm]
>  
> So mal die ersten zwei Unterdeterminanten:
>  
> [mm]D_{11}=4*2-1*4=4 \Rightarrow A_{11}=4[/mm]
>  [mm]D_{11}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{11}=-(-8)[/mm]
>  


Hier meinst Du wohl:

[mm]D_{1\blue{2}}=2*2-3*4=-8 \Rightarrow A_{1\blue{2}}=-(-8)[/mm]


> Ist das richtig so? Also was mich hier verwirrt, ich sehe
> bislang nicht, wie das [mm]\IF_{71}[/mm] hier zu berücksichtigen
> ist...ich denke da vor allem bei der Komplementbildung
> könnte ich mir gut vorstellen, dass ich da Rücksicht
> drauf nehmen müsste. Über etwas Erläuterung würde ich
> micht sehr freuen.


Bei der Bildung der Inversen steht dann hier:

[mm]A^{-1}=\left(\operatorname{det \ A}\right)^{-1}*A_{adj}[/mm]

, wobei [mm]\left(\operatorname{det \ A}\right)^{-1}[/mm] das multiplikative Inverse zu
[mm]\operatorname{det \ A}[/mm] in [mm]\IF_{71\[/mm] ist.


Gruss
MathePower

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Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Di 19.06.2012
Autor: Big_Head78

Ok, also bestimme ich mal [mm] (detA)^{-1} [/mm] :

zu lösende Gleichung: 8x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71

71=8*8+7 [mm] \gdw [/mm] 7=8*8-71
8=1*7+1 [mm] \gdw [/mm] 1=8-7=8-(8*8-71)=1=-7*8+1*71 [mm] \Rightarrow [/mm] -7 ist multiplikativ Inverses zu 8.

richtig?

und nun die Elemente der inversen Matrix:

[mm] D_{13}=2-12=-10 \Rightarrow A_{13}=-10 [/mm]

[mm] D_{21}=6-2=4 \Rightarrow A_{21}=-4 [/mm]

[mm] D_{22}=2-6=-4 \Rightarrow A_{13}=-4 [/mm]

[mm] D_{23}=1-9=-8 \Rightarrow A_{23}=8 [/mm]

[mm] D_{31}=12-8=4 \Rightarrow A_{31}=4 [/mm]

[mm] D_{32}=4-4=0 \Rightarrow A_{32}=0 [/mm]

[mm] D_{33}=4-6=-2 \Rightarrow A_{33}=-2 [/mm]

Das ergibt dann insgesamt:

[mm] A^{-1}=-7*\pmat{ 4 & -4&4 \\ 8 & -4&0 \\-10&8&-2 } [/mm]

1. Stimmt das?
2. Wenn ich die -7 gerne noch reinmultiplizieren möchte, worauf muss man da achten? (wegen [mm] \IF_{71} [/mm] )

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Bezug
Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 19.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,


> Ok, also bestimme ich mal [mm](detA)^{-1}[/mm] :
>  
> zu lösende Gleichung: 8x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71
>  
> 71=8*8+7 [mm]\gdw[/mm] 7=8*8-71
>  8=1*7+1 [mm]\gdw[/mm] 1=8-7=8-(8*8-71)=1=-7*8+1*71 [mm]\Rightarrow[/mm] -7
> ist multiplikativ Inverses zu 8.
>  
> richtig?
>  


(-7) ist nicht multiplikativ Inverses zu 8 in [mm]\IF_{71}[/mm]


> und nun die Elemente der inversen Matrix:
>  
> [mm]D_{13}=2-12=-10 \Rightarrow A_{13}=-10[/mm]
>  
> [mm]D_{21}=6-2=4 \Rightarrow A_{21}=-4[/mm]
>  
> [mm]D_{22}=2-6=-4 \Rightarrow A_{13}=-4[/mm]
>  
> [mm]D_{23}=1-9=-8 \Rightarrow A_{23}=8[/mm]
>  
> [mm]D_{31}=12-8=4 \Rightarrow A_{31}=4[/mm]
>  
> [mm]D_{32}=4-4=0 \Rightarrow A_{32}=0[/mm]
>  
> [mm]D_{33}=4-6=-2 \Rightarrow A_{33}=-2[/mm]

>


Die Elemente der Matrix hast Du richtig bestimmt.

  

> Das ergibt dann insgesamt:
>  
> [mm]A^{-1}=-7*\pmat{ 4 & -4&4 \\ 8 & -4&0 \\-10&8&-2 }[/mm]
>  
> 1. Stimmt das?


Siehe oben.


>  2. Wenn ich die -7 gerne noch reinmultiplizieren möchte,
> worauf muss man da achten? (wegen [mm]\IF_{71}[/mm] )  


Nun, die Elemente mit diesem Faktor multiplizieren
und diese modulo 71 berechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mi 20.06.2012
Autor: Big_Head78

Stimmt, -7 ist falsch, hätte ich durch Probe auch selber drauf kommen müssen...

Also Fehler gesucht und hoffentlich gefunden:

8x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71

71=8*8+7 [mm] \gdw [/mm] 7=71-8*8
8=1*7+1 [mm] \gdw [/mm] 1=8-1*7=8-(71-8*8)=8-71+8*8=9*8-71=1

[mm] \Rightarrow9 [/mm] ist multiplikativ Inverses zu 8 in [mm] \IF_{71} [/mm] (9*8=72 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 71), also [mm] (detA)^{-1}=9 [/mm]

[mm] \Rightarrow A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&67 &36 \\ 1 & 67&0\\52&1&69 } [/mm]

Richtig so?

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Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mi 20.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,

> Stimmt, -7 ist falsch, hätte ich durch Probe auch selber
> drauf kommen müssen...
>  
> Also Fehler gesucht und hoffentlich gefunden:
>  
> 8x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71
>  
> 71=8*8+7 [mm]\gdw[/mm] 7=71-8*8
>  8=1*7+1 [mm]\gdw[/mm] 1=8-1*7=8-(71-8*8)=8-71+8*8=9*8-71=1
>  
> [mm]\Rightarrow9[/mm] ist multiplikativ Inverses zu 8 in [mm]\IF_{71}[/mm]
> (9*8=72 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 71), also [mm](detA)^{-1}=9[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&67 &36 \\ 1 & 67&0\\52&1&69 }[/mm]
>  
> Richtig so?


Wenn Du die 9 in die Matrix hineinmultiplizierst und modulo 71 rechnest, ergibt sich:

[mm]A^{-1}=9*\pmat{4&-4 & 4 \\ 8 & -4&0\\-10&8&-2 }=\pmat{36&\red{35} &36 \\ 1 & \red{35}&0\\52&1&\red{53} }[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Inverse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mi 20.06.2012
Autor: Big_Head78

Danke. :)

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