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| Aufgabe | Inverse Funktionen
Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f: D [mm] \subset \IR [/mm] (^n) -> E [mm] \subset \IR [/mm] (^n), die eine stetig differenzierbare Inverse besitzt. D und E seien offen. Zeigen Sie, dass die Beziehung
[mm]\det J_{f^{-1}}(y)|_{y= f(x)} = \frac{1}{\det J_f(x)}[/mm]
gilt.
Hinweis:
Hierbei sind J jeweils die Funktionalmatrizen von f bzw f[mm]^-^1[/mm] |
Wie kann ich das zeigen? Um eine möglichst ausführliche Beschreibung wäre ich sehr dankbar. Ich hoffe die mathematischen Formeln und Zeichen korrekt dargestellt zu haben.
Ich habe diese Frage bisher in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Inverse Funktionen
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> Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f: D
> [mm]\subset \IR[/mm] (^n) -> E [mm]\subset \IR[/mm] (^n), die eine stetig
> differenzierbare Inverse besitzt. D und E seien offen.
> Zeigen Sie, dass die Beziehung
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> [mm]\det J_{f^{-1}}(y)|_{y= f(x)} = \frac{1}{\det J_f(x)}[/mm]
>
> gilt.
Beachte, das sowohl die Determinante als auch das Nehmen der Fundamentalmatrix von Verketteten Funktionen multiplikativ ist: Es ist [mm] $J_{f \circ g}(x) [/mm] = [mm] J_f(g(x)) J_g(x)$ [/mm] und [mm] $\det(A [/mm] B) = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B$.
Jetzt wende das ganze doch mal auf $id = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f$ an der Stelle $x$ an.
LG Felix
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