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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 So 31.05.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Hallo,
Ich habe für einen gegebenen 3DOF Roboter die Denavit-Hartenberg-Transformationsmatrizen aufgestellt, und die ersten drei elemente der rechten Spalte aus der Transformationsmatrize vom Ursprung zum Endeffecktor bildet den Ortsvektor des Endeffektors. DIe Gleichung dafür lautet:
[mm] \pmat{ x \\ y \\ z }=\pmat{ cos(\alpha_1)*(l_1+l_2*cos(\alpha_2)+l_3*cos(\alpha_2+\alpha_3)) \\ sin(\alpha_1)*(l_1+l_2*cos(\alpha_2)+l_3*cos(\alpha_2+\alpha_3)) \\ l_2*sin(\alpha_2)+l_3*sin(\alpha_2+\alpha_3)}
[/mm]
[mm] l_1, l_2,l_3 [/mm] sind die abmessungen des roboters und konstant. x,y,z sind die Zielkoordinaten und die [mm] \alpha [/mm] winkel sind gesucht.
Die lösung für [mm] \alpha_1 [/mm] ist leicht, da man einfach die 2.Zeile durch die 1. Zeile dividiert und da sich die Klammer weg kürzt erhält man:
[mm] \bruch{y}{x}=\bruch{sin(\alpha_1)}{cos(\alpha_1}=tan(\alpha_1) [/mm] --> [mm] \alpha_1=atan(\bruch{y}{x})
[/mm]
Allerdings verzweifel ich an den anderen beiden gesuchten Größen.
Selbst die Summe der Quadrate aller Gleichungen hat bei mir zu keiner Lösung geführt.
Es Ist eine Kunst mit den Winkelfunktionen zu jonglieren, bis man zwei lösungen hat.
Allerdings haben meine Versuche ( 9 Seiten) immer zu ergbnissen wie 1=1 geführt. Das einzige mal als ein Ergebnis heraus kam, war die gegenrechnung mit Werten komplett falsch.
Nach der Aussage eines Fachbuches sind diese drei Gleichungen der D-H-Transformtion immer linear unahängig.
Ich benötige die Lösung für meine Hausarbeit über eben dieses Thema und es wäre wirklich ungünstig, wenn ich am Ende keine Lösung Präsentieren kann.
Vielen Dank für eure Mühen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 31.05.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Vlt erschreckt Manche der Kontext, aber das Gleichungssystem is in streng Mathematisches Problem.
Auf Geometrische Art und weise habe ich Lösungen für [mm] \alpha_2 [/mm] gefunden, die aus der summe eines atan und acos berechnet. [mm] \alpha_2 [/mm] ist nur ein acos. Die Werte in den Wínkelfunktionen habe ich druch Pythagoras und den Cosinussatz bestimmt, daher treten Alle Variablen in den typischen Quadraten und dopelten Produkt formen auf.
Die Summe der Quadrate aller Therme wächst so imens stark an, dass ich mich wahrscheinlich verrechnet habe.
vlt hilft euch das als Inspiration.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 So 31.05.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Also ich habe mich noch einmal zusammengerissen, und die Summe der Quadrate der Gleichungen gebildet und bin diesmal ohne Rechenfehler auf die Lösung für [mm] \alpha_3 [/mm] gekommen. Zwischenzeitlich hatte der Term eine länge von 50 Asdrücken, daher bin ich sehr stolz, dass das Ergebnis korrekte Ergebnisse liefert.
[mm] \alpha_3=acos(\bruch{l_1^2-l_2^2-l_3^2-\bruch{2*y*l_1}{sin(\alpha_1)}+x^2+y^2+z^2}{2*l_2*l_3})
[/mm]
und wie bereits bekannt:
[mm] \alpha_1=atan(\bruch{y}{x})
[/mm]
Nun brauch ich nurnoch [mm] \alpha_2 [/mm] zu finden...
mfg Sirvivor
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Hallo Sirvivor,
> Hallo,
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> Ich habe für einen gegebenen 3DOF Roboter die
> Denavit-Hartenberg-Transformationsmatrizen aufgestellt, und
> die ersten drei elemente der rechten Spalte aus der
> Transformationsmatrize vom Ursprung zum Endeffecktor bildet
> den Ortsvektor des Endeffektors. DIe Gleichung dafür
> lautet:
> [mm]\pmat{ x \\ y \\ z }=\pmat{ cos(\alpha_1)*(l_1+l_2*cos(\alpha_2)+l_3*cos(\alpha_2+\alpha_3)) \\ sin(\alpha_1)*(l_1+l_2*cos(\alpha_2)+l_3*cos(\alpha_2+\alpha_3)) \\ l_2*sin(\alpha_2)+l_3*sin(\alpha_2+\alpha_3)}[/mm]
>
> [mm]l_1, l_2,l_3[/mm] sind die abmessungen des roboters und
> konstant. x,y,z sind die Zielkoordinaten und die [mm]\alpha[/mm]
> winkel sind gesucht.
>
> Die lösung für [mm]\alpha_1[/mm] ist leicht, da man einfach die
> 2.Zeile durch die 1. Zeile dividiert und da sich die
> Klammer weg kürzt erhält man:
>
> [mm]\bruch{y}{x}=\bruch{sin(\alpha_1)}{cos(\alpha_1}=tan(\alpha_1)[/mm]
> --> [mm]\alpha_1=atan(\bruch{y}{x})[/mm]
>
> Allerdings verzweifel ich an den anderen beiden gesuchten
> Größen.
> Selbst die Summe der Quadrate aller Gleichungen hat bei
> mir zu keiner Lösung geführt.
> Es Ist eine Kunst mit den Winkelfunktionen zu jonglieren,
> bis man zwei lösungen hat.
> Allerdings haben meine Versuche ( 9 Seiten) immer zu
> ergbnissen wie 1=1 geführt. Das einzige mal als ein
> Ergebnis heraus kam, war die gegenrechnung mit Werten
> komplett falsch.
> Nach der Aussage eines Fachbuches sind diese drei
> Gleichungen der D-H-Transformtion immer linear unahängig.
>
> Ich benötige die Lösung für meine Hausarbeit über eben
> dieses Thema und es wäre wirklich ungünstig, wenn ich am
> Ende keine Lösung Präsentieren kann.
Nun, da Du in dieser Miteilung die Lösungen für [mm]\alpha_{1}[/mm] und [mm]\alpha_{3}[/mm] gefunden hast, ist es jetzt ein leichtes die Lösung für [mm]\alpha_{2}[/mm] zu finden.
Betrachte hierzu die Gleichung
[mm]z=l_{2}*\sin\left(\alpha_{2}\right)+l_{3}*\sin\left(\alpha_{2}+\alpha_{3}\right)[/mm]
Schreibe diese in der Form
[mm]z=A*\sin\left(\alpha_{2}+\varphi\right)[/mm]
Dann kannst Du auch noch diese Lösung angeben.
>
> Vielen Dank für eure Mühen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Sirvivor |
Irgendwie ist mir noch nicht ganz Klar, wie ich deinen Ansatz lösen soll?
Wenn ich das brutal ersetze, dann ist dein
[mm] \varphi [/mm] gleich [mm] \alpha_{3}
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, wie ich die Winkelfunktionen umformen soll, damit aus der Summe ein Produkt wird.
Es tut mir leid, vlt habe ich auch Tomaten auf den Augen...
mfg Sirvivor
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Hallo Sirvivor,
> Irgendwie ist mir noch nicht ganz Klar, wie ich deinen
> Ansatz lösen soll?
> Wenn ich das brutal ersetze, dann ist dein
>
> [mm]\varphi[/mm] gleich [mm]\alpha_{3}[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung, wie ich die Winkelfunktionen
> umformen soll, damit aus der Summe ein Produkt wird.
>
> Es tut mir leid, vlt habe ich auch Tomaten auf den
> Augen...
Der Ausdruck
[mm] z=l_{2}\cdot{}\sin\left(\alpha_{2}\right)+l_{3}\cdot{}\sin\left(\alpha_{2}+\alpha_{2}\right) [/mm]
läßt sich mit Hilfe von Additionstheoremen so schreiben:
[mm]z=C*sin\left(\alpha_{2}\right)+D*\cos\left(\alpha_{2}\right)[/mm]
Das vergleichst Du jetzt mit
[mm]z=A*\sin\left(\alpha_{2}+\varphi\right)[/mm]
mittels eines ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleiches und kannst dann so [mm]\alpha_{2}[/mm] ermitteln.
Natürlich kannst Du das nur machen, wenn
[mm]z=A*\sin\left(\alpha_{2}+\varphi\right)[/mm]
auch in der Form
[mm]z=A_{1}*\sin\left(\alpha_{2}\right)+A_{2}*\cos\left(\alpha_{2}\right)[/mm]
vorliegt.
>
> mfg Sirvivor
>
>
Gruß
MathePower
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