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| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 1/2 } [/mm] |
Ich weiss nicht, wie man die Inverse berechnet. Ich möchte es sehr gerne selbst versuchen, aber auch andere Foren haben mir nicht weitergeholfen.
Wie beginnt man, wenn nach der Inverse zu obiger Aufgabe gefragt wird?
Im voraus, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 01.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo keinmathekönner,
Die Inverse einer Matrix ist genau diejenige Matrix, die, mit der ursprünglichen Matrix multipliziert, die Einheitsmatrix ergibt. Die Elemente dieser Matrix sind zunächst noch nicht bekannt, weswegen man mit Variabalen rechnet.
Mathematisch sieht der Ansatz so aus:
$$ [mm] \pmat{3 & 1 \\ 0 & 1/2} \cdot \pmat{a & b \\ c & d} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] $$
Ausmultiplizieren der beiden Matrizen auf der linken Seite der Gleichung führt dann zu einem Gleichungssystem, - in diesem Fall mit vier Gleichungern -, aus dem man die Elemente der inversen Matrix bestimmen kann.
Viele Grüße,
Infinit
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also in diesem fall:
3*a+1*b
3*c+1*d
0*a+1/2*b
0*c+1/2*d?
Ich verstehe wirklich nicht, wie das gemeint sein soll!
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Oha, da stimmt aber was nicht.
Wie berechnet man denn das produkt zweier Matrizen? Zeile mal Spalte!
Also wäre das linke obere Element der Produktmatrix 3a+1c. Und das soll nun - so die rechte Seite der Gleichung - gleich 1 sein.
3a+1c=1
Und das machst du für die anderen drei Elemente auch, das ergibt vier Gleichungen mit vier Unbekannten.
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okay....peinlich!
Habe ich notiert, aber wie geht es weiter? Die Gleichungen sollen dann =1 sein?
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Hallo kmk,
nein, jede der Gleichungen soll einen Eintrag der Einheitsmatrix ergeben, also die erste Gleichung =1, die zweite und dritte =0 und die vierte wieder =1
Du hast also folgendes Gleichungssystem:
(I) $3a+1c=1$
(II) $3b+1c=0$
(III) [mm] $0a+\frac{1}{2}b=0$
[/mm]
(IV) [mm] $0b+\frac{1}{2}d=1$
[/mm]
Das dann lösen.
Ich kann dir aber 2 alternative Wege zur Berechnung der Inversen vorschlagen, die - wie ich finde einfacher und schneller sind:
(1) schreibe deine Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander, also
[mm] \pmat{ 3 & 1 & | & 1 & 0\\ 0 & 1/2 & | & 0& 1}
[/mm]
Nun forme die linke Matrix durch Zeilenumformungen um in die Einheitsmatrix und mache dieselben Umformungen auch an der rechten Matrix.
Wenn du dann die linke als Einheitsmatrix dastehen hast, ist die rechte Matrix genau die Inverse zu [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 1/2 }
[/mm]
Wenn du schon was von Determinanten gehört hast, kannst du auch die Formel anwenden:
[mm] A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{}A^{adj}
[/mm]
Das bedeutet für eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix [mm] A=\pmat{ a & b \\ c& d }:
[/mm]
[mm] A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich habe die Inverse raus. Die Lösung hatte ich dazu, nur der Rechnenweg hat mir gefehlt!!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich versuche mich gerade an einer 3x3 Matrix und da wird das mit den Gleichungen ganz schön aufwendig.
Das Verfahren mit der Zeilenumformung hört sich besser an.Von Determinanten habe ich zwar schon gehört, aber das kommt erst im nächsten Kapitel 
Wie genau geht denn da die Zeilenumformung?
Die Matrix ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\1 & 4 & 2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
schreib wieder die Ausgangsmatrix und die Einheitsmatrix nebeneinander:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 &|&1&0&0\\ 0 & 0 & 2&|&0&1&0 \\1 & 4 & 2&|&0&0&1}
[/mm]
Erlaubte Umformungen sind:
(1) Vertauschen von 2 Zeilen
(2) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
Hier würde ich erst einmal die 2.Zeile und 3.Zeile tauschen:
Das gibt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 &|&1&0&0\\ 1 & 4 & 2&|&0&0&1 \\0 & 0 & 2&|&0&1&0}
[/mm]
Dann das (-1)fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addieren und die 3.Zeile [mm] \cdot{}\frac{1}{2}
[/mm]
Das gibt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 &|&1&0&0\\ 0 & 4 & 0&|&-1&0&1 \\0 & 0 & 1&|&0&\frac{1}{2}&0}
[/mm]
Jetzt ist es nicht mehr weit bis zur Einheitsmatrix auf der linken Seite - den Rest kriegste hin ...
LG
schachuzipus
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ich verstehe leider nicht, wieso man so umformen darf?
Worauf will man denn hinaus, wenn man die Einheitsmatrix verändert?
Ich hoffe du verstehs die Frage, verstehe sie nämlich selber kaum....
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Hi,
hab ich doch oben erklärt, hast du's gelesen??
Hmm...
Also schreibe deine zu invertierende Matrix hin und die Einheitsmatrix in passendem Format daneben.
Ziel ist es nun, deine zu invertierende Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen - das sind genau die 3 erlaubten Typen von Umformungen, die ich oben genannt habe - in die Einheitsmatrix zu überführen.
Also vertausche und addiere an deiner Ursprungsmatrix solange Zeilen, bis du sie zur Einheitsmatrix umgeformt hast.
Mache [mm] \underline{alle} [/mm] Umformungen, die du dazu benötigt hast, in der [mm] \underline{\text{gleichen Reihenfolge}} [/mm] auch an der nebenstehenden Einheitsmatrix. (am Besten zeitgleich, darum schreibt man die beiden Matrizen ja auch nebeneinander)
Die umgeformte Einheitsmatrix ist dann schlussendlich deine Inverse
Probier's mal weiter an deinem Bsp. und poste die Lösung, dann können wir gucken, ob's gesackt ist 
LG
schachuzipus
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