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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Sa 08.01.2005 | | Autor: | info |
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Hallo!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe in meiner Mathe-Aufgabe. Sie lautet folgendermaßen: Sei A eine n x n Matrix, derart, dass [mm] A^k [/mm] = 0 für ein k > 0. Zeigen Sie, dass dann E-A invertierbar ist und geben Sie das Inverse an. Mit E ist die Einheitsmatrix gemeint.
Ich bin so an die Aufgabe rangegangen:
für k = 1 ist A Matrix, deren Einträge alle aus Nullen bestehen E-A wäre dann E und E^-1 von E ist ja E!
So, nun versuche ich es für k = 2. Ich habe mir eine allgemeine Matrix aufgestellt: A = ((a,b),(c,d)) A*A = ((a*a+b*c,a*b+b*d),(a*c+c*d),(c*b+d*d))
Ich habe dann 4 Gleichungen aufgestellt:
1. a*a+b*c=0
2. a*b+b*d=0
3. a*c+c*d = 0
4. c*b+d*d = 0
=> a = - d
=> a= sqrt(-b*c)
Was nun? habe ich den richtigen Ansatz? Bitte um Hilfe! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
du kannst ganz allgemein ansetzen, rechne mal folgendes aus:
$ [mm] (E_{n}-A)*(E_{n}+A+A^2+...+A^{k-1}) [/mm] $
Dann sollte dir was auffallen
(das produkt umkehren nicht vergessen)
mfG
DaMenge
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