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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 06.10.2009 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | Suchen Sie zu A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
eine Matrix X = [mm] \pmat{ s & t \\ u & v }
[/mm]
so, dass AX = I = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ist. |
Hi, also was ich dazu rausgefunden habe ist, dass X = [mm] A^{-1} [/mm] sein muss, also die Inverse der Matrix A.
Daraus lässt sich dann die Gleichung [mm] A^{-1} [/mm] = I/A erstellen.
Nun steh ich da aber an... kann man überhaupt zwei Matrizen "Dividieren"?
Was ich mir noch überlegt habe, ist das ich wohl am Schluss für s-v Werte erhalten sollte, die von a,b,c,d abhängig sind...
könnt ihr mir da helfen?
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Hallo Bling,
> Suchen Sie zu A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> eine Matrix X =
> [mm]\pmat{ s & t \\ u & v }[/mm]
> so, dass AX = I = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> ist.
> Hi, also was ich dazu rausgefunden habe ist, dass X =
> [mm]A^{-1}[/mm] sein muss, also die Inverse der Matrix A.
> Daraus lässt sich dann die Gleichung [mm]A^{-1}[/mm] = I/A
> erstellen.
>
> Nun steh ich da aber an... kann man überhaupt zwei
> Matrizen "Dividieren"?
Nein.
>
> Was ich mir noch überlegt habe, ist das ich wohl am
> Schluss für s-v Werte erhalten sollte, die von a,b,c,d
> abhängig sind...
>
> könnt ihr mir da helfen?
Multipliziere einfach die Matrix A mit der Matrix X.
Aus dem Vergleich mit der Einheitsmatrix
folgen dann 4 Bedingungsgleichungen, die erfüllt sein müssen.
Wie Du richtig erkannt hast,
läuft das dann darauf hinaus, daß [mm]X=A^{-1}[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 06.10.2009 | | Autor: | Bling |
ja... das hilft mir erst insofert, dass ich nun sehe, dass mein allererster Gedanke richtig war. ich hatte das auch schon mal aufgeschreiben, bin dann aber daraus nicht schlau geworden, bzw. konnte das ganze nicht auflösen.
ich hab das erhalten:
AX = [mm] \pmat{ as+bu & at+bv \\ cs+du & ct+dv } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
so komme ich auf folgendes Gleichungssystem:
as+bu = 1
at+bv = 0
cs+du = 0
ct+dv = 1
bzw.
a 0 b 0 1
0 1 0 b 0
c 0 d 0 0
0 c 0 d 1
und wenn ich das mit dem Gaussalgoritmus auflöse erhalte ich
a 0 b 0 1
0 a 0 b 0
0 0 [mm] d-\bruch{bc}{a} [/mm] 0 [mm] -\bruch{c}{a}
[/mm]
0 0 0 [mm] d-\bruch{bc}{a} [/mm] 0
1. stimmt das?
2. im Fall JA, wie komm ich jetzt damit auf u? durch Rückwärtseinsetzen?!? hab ich probiert... ging irgendwie nicht.
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Hallo Bling,
> ja... das hilft mir erst insofert, dass ich nun sehe, dass
> mein allererster Gedanke richtig war. ich hatte das auch
> schon mal aufgeschreiben, bin dann aber daraus nicht schlau
> geworden, bzw. konnte das ganze nicht auflösen.
>
> ich hab das erhalten:
>
> AX = [mm]\pmat{ as+bu & at+bv \\ cs+du & ct+dv }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> so komme ich auf folgendes Gleichungssystem:
>
> as+bu = 1
> at+bv = 0
> cs+du = 0
> ct+dv = 1
>
> bzw.
>
> a 0 b 0 1
> 0 1 0 b 0
> c 0 d 0 0
> 0 c 0 d 1
>
> und wenn ich das mit dem Gaussalgoritmus auflöse erhalte
> ich
>
> a 0 b 0 1
> 0 a 0 b 0
> 0 0 [mm]d-\bruch{bc}{a}[/mm] 0 [mm]-\bruch{c}{a}[/mm]
> 0 0 0 [mm]d-\bruch{bc}{a}[/mm] 0
Diese Zeile muß so lauten:
[mm]0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ d-\bruch{b*c}{a} \ \ \red{1}[/mm]
>
> 1. stimmt das?
> 2. im Fall JA, wie komm ich jetzt damit auf u? durch
> Rückwärtseinsetzen?!? hab ich probiert... ging irgendwie
> nicht.
Nun, aus der 3. Zeile folgt
[mm]\left(d-\bruch{b*c}{a}\right)*u=-\bruch{c}{a}[/mm]
Woraus sich u bestimmt. (A invertierbar vorausgesetzt)
Dieses u setzt Du jetzt in die 1. Gleichung ein und bekommst das s.
Analog geht das für v.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 06.10.2009 | | Autor: | Bling |
Danke für die Hilfe. War ja ne recht einfache Sache wenn man sich nicht verrechnet...
hab jetzt für
[mm] s=\bruch{d}{ad-bc}
[/mm]
[mm] t=\bruch{-b}{ad-bc}
[/mm]
[mm] u=\bruch{-c}{ad-bc}
[/mm]
[mm] v=\bruch{a}{ad-bc}
[/mm]
also: X = [mm] \pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc} }
[/mm]
hoffe mal ich hab mich da nicht auch nochmal verrechnet.
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So stimmts ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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Hallo Bling,
> Danke für die Hilfe. War ja ne recht einfache Sache wenn
> man sich nicht verrechnet...
>
> hab jetzt für
>
> [mm]s=\bruch{d}{ad-bc}[/mm]
> [mm]t=\bruch{-b}{ad-bc}[/mm]
> [mm]u=\bruch{-c}{ad-bc}[/mm]
> [mm]v=\bruch{a}{ad-bc}[/mm]
>
> also: X = [mm]\pmat{ \bruch{d}{ad-bc} & \bruch{-b}{ad-bc} \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc} }[/mm]
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hoffe mal ich hab mich da nicht auch nochmal verrechnet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 06.10.2009 | | Autor: | Bling |
das sieht ja schwer verdächtig danach aus, als ob man die Inverse irgendwie schneller für jede beliebige n x n-Matrizen berechnen könnte, als jedesmal nachzurechnen...
ad-bc ist doch die Determinante der Matrix A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }...
[/mm]
aber wie komme ich ohne grossen Rechenaufwand auf die jeweiligen Zähler in den Brüchen meiner [mm] A^{-1}?
[/mm]
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Hallo!
> das sieht ja schwer verdächtig danach aus, als ob man die
> Inverse irgendwie schneller für jede beliebige n x
> n-Matrizen berechnen könnte, als jedesmal
> nachzurechnen...
>
> ad-bc ist doch die Determinante der Matrix A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }...[/mm]
>
Richtig erkannt!
> aber wie komme ich ohne grossen Rechenaufwand auf die
> jeweiligen Zähler in den Brüchen meiner [mm]A^{-1}?[/mm]
Es gilt:
[mm] $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}*\text{adj}(A)$$
[/mm]
Wobei adj(A) die ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte bezeichnet.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 06.10.2009 | | Autor: | Bling |
ok, aber das machts dann auch nicht einfacher zum Rechnen, wenn ich mir den Wikipedia-Link anschaue... da kann ich es direkt wieder so machen wie vorher bei meiner Aufgabe, anstatt mich da rumzuplagen und diese Adjunkte zu berechnen.
danke trotzdem und bis zur nächsten Frage;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Di 06.10.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Das stimmt zum Rechnen ist das wirklich nicht gut geeignet. Dafür verwendet man der Regel den Gauß-Jordan-Algorithmus:
http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Gau.C3.9F-Jordan-Algorithmus
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