Inverse einer Matrix mit a=unb < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mo 18.05.2009 | | Autor: | so_magic |
| Aufgabe | Gegeben ist die 3x3-Matrix
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 1 & 8 & \alpha }.
[/mm]
1. Für welche [mm] \alpha [/mm] aus R ist die Matrix A invertierbar?
2. Bestimmen Sie [mm] \alpha [/mm] aus R, so dass das lineare Gleichungssystem
Ax= [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
unendlich viele Lösungen hat.Bestimmen Sie die Lösungen, und geben
Sie Ihre Antwort in der Form L= { spezielle Lösung + Kern(A) }.
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Hallo!
Zu der 1.Teilaufgabe:
Ich bin so vorgegangen,dass ich die Matrix A und die Einheitsmatrix gegenüber gestellt und somit die Einheitsmatrix auf die linke Seite gebracht habe:
Folgendes ergibt sich:
1.Zeile : 1 0 [mm] (-1/3\alpha-4/3) [/mm] = 4/3 0 -1/3
2.Zeile : 0 1 [mm] (-1/2\alpha-9/2) [/mm] = 1/2 -1 1/2
3.Zeile: 0 0 ( [mm] 2/3\alpha+7/2) [/mm] = -2/3 1 -1/3
In jeder Zeile muss ich für die Klammer auf 0 kommen...ABER nun weiß ich nicht,wie ich nach alpha umstellen soll..??!!
Die 2.Teilaufgabe bereitet mir auch schon Sorgen...muss ich erst die 1. gelöst haben,um die 2. berechnen zu können??
Es wäre supernett von euch,wenn ihr mir zumindest bei der 1. Aufgabe weiterhelfen könntet!!!
Danke im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Ich denke deine erste Aufgabe ist viel einfacher zu lösen, wenn du berücksichtigst, dass eine Matrix invertierbar ist, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Da es sich um eine 3x3-Matrix handelt, ist die Determinante auch entsprechend einfach zu berechnen und nach [mm] \alpha [/mm] aufzulösen sollte dann kein Problem sein...
Es gibt unendlich viele [mm] \alpha [/mm] für welche die Matrix invertierbar ist.. schliesse mit der Determinante die [mm] \alpha [/mm] aus, die nicht gültig sind!
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 18.05.2009 | | Autor: | so_magic |
ich habe mittlerweile auf diesem wege weitergerechnet und verschiedene werte für [mm] \alpha [/mm] erhalten...in der 1. zeile wäre es -4, 2.z.: -9 und 3.z.: 5/8...
nur weiß ich jetzt nicht,ob ich auf dem richtigen weg bin und was mir diese werte sagen..ich muss ja auf 1 [mm] \alpha [/mm] kommen...:S
meinst du,dass mein weg falsch ist??
weil ich noch nie mit der determinante gerechnet habe..sagt mir auch grad nichts...
hättest du vielleicht ein bsp. parat?? :)
lg gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Die Determinante einer 3x3 Matrix lässt sich mit einer einfachen Formel ausrechnen:
Sei z.B A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} }
[/mm]
Naja, die Determinante dieser Matrix berechnet sich wie folgt:
det(A) = [mm] a_{11}a_{22}a_{33} [/mm] + [mm] a_{12}a_{23}a_{31} [/mm] + [mm] a_{13}a_{21}a_{32} [/mm] - [mm] a_{13}a_{22}a_{31} [/mm] - [mm] a_{12}a_{21}a_{33} [/mm] - [mm] a_{11}a_{23}a_{32}
[/mm]
Und diese Determinante darf nicht 0 sein. :) Hoffe das hilft dir weiter.
Eine andere Methode ohne Determinante wäre, das System mit Gauss auf Zeilenstufenform zu bringen. Damit die Determinante nicht 0 ist und die Matrix somit invertierbar, müssen die Zeilen der Matrix linear unabhängig sein.
Ich denke das sind die einfachsten Methoden, um diese Aufgabe zu lösen :)
Gruss
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> Gegeben ist die 3x3-Matrix
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 1 & 8 & \alpha }.[/mm]
>
>
>
> 1. Für welche [mm]\alpha[/mm] aus R ist die Matrix A invertierbar?
> 2. Bestimmen Sie [mm]\alpha[/mm] aus R, so dass das lineare
> Gleichungssystem
>
> Ax= [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ -3}[/mm]
>
> unendlich viele Lösungen hat.Bestimmen Sie die Lösungen,
> und geben
> Sie Ihre Antwort in der Form L= { spezielle Lösung +
> Kern(A) }.
>
>
>
> Hallo!
>
> Zu der 1.Teilaufgabe:
> Ich bin so vorgegangen,dass ich die Matrix A und die
> Einheitsmatrix gegenüber gestellt und somit die
> Einheitsmatrix auf die linke Seite gebracht habe:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, so macht man das, wenn man die inverse Matrix ausrechnen möchte. (Du scheinst Dich aber verrechnet zu haben.)
Du brauchst lt. Aufgabenstellung die inverse Matrix überhaupt nicht anzugeben, es geht bloß darum, ob sie existiert, und das findest Du, wie bereits erwähnt heraus, indem Du schaust, für welche a die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, oder aber anhand der Zeilenstufenform: für die a, für welche der Rang der Matrix =3 ist, ist die Matrix invertierbar.
> Folgendes ergibt sich:
> 1.Zeile : 1 0 [mm](-1/3\alpha-4/3)[/mm] = 4/3
> 0 -1/3
>
> 2.Zeile : 0 1 [mm](-1/2\alpha-9/2)[/mm] = 1/2 -1
> 1/2
>
> 3.Zeile: 0 0 ( [mm]2/3\alpha+7/2)[/mm] = -2/3 1 -1/3
Mal angenommen, die linke Seite wäre die richtige Zeilenstufenform. Dann müßtest Du für die Entscheidung, ob invertierbar oder nicht, nun schauen, für welches a der Rang =3 wird.
Man sieht: der Rang kann nur verschieden von 3 sein, wenn [mm] 2/3\alpha+7/2=0 [/mm] ist. Dieses a würde man nun ausrechnen müssen. damit wüßt man, für welche a die matrix nicht invertierbar ist.
Zu Aufgabe 2):
Bringe hierfür
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1&&| 3 \\ 1 & 4 & -3&&| 1\\ 1 & 8 & \alpha&&| -3 } [/mm] $
auf Zeilenstufenform.
Ich bin mir sehr sicher, daß Ihr über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen etwas notiert habt. (Rangbetrachtungen).
Das Ablesen der Lösung geht besonders leicht, wenn man in die reduzierte ZSF umgewandelt hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 20.05.2009 | | Autor: | so_magic |
als erstes muss ich euch beiden echt danken für eure hilfreichen vorschläge!!! :)
ich habe nun den weg mit der berechnung der determinante gewählt und für [mm] \alpha [/mm] ungleich -7 erhalten. kann es sein,dass das ergebnis falsch ist?? (mein hausaufgaben-partner ist nämlich auf ungleich -1 gekommen; anderer rechenweg)...
zu 2.)
wenn ich den letzten vorschlag auf zeilenstufenform bringe, erhalte ich:
( 1 2 -1 | 3 )
( 0 2 -2 | -2 )
( 0 0 [mm] \alpha+1 [/mm] | 0 )
ABER wie muss ich jetzt weiter vorgehen? :(
lg
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> als erstes muss ich euch beiden echt danken für eure
> hilfreichen vorschläge!!! :)
>
> ich habe nun den weg mit der berechnung der determinante
> gewählt und für [mm]\alpha[/mm] ungleich -7 erhalten. kann es
> sein,dass das ergebnis falsch ist?? (mein
> hausaufgaben-partner ist nämlich auf ungleich -1 gekommen;
> anderer rechenweg)...
Hallo,
ich mag heut' abend nicht mehr rechnen, aber ich erinnere mich, daß ich tagsüber auf irgendeinem Zettelchen mal 7 oder -7 ausgerechnet hatte.
> zu 2.)
> wenn ich den letzten vorschlag auf zeilenstufenform
> bringe, erhalte ich:
>
> ( 1 2 -1 | 3 )
> ( 0 2 -2 | -2 )
> ( 0 0 [mm]\alpha+1[/mm] | 0 )
Deine ZSF scheint mir nicht zu stimmen.
Wenn die matrix für a=-7 nicht invertierbar ist, müßte a+7 statt a+1 dastehen.
Falls es heute keiner mehr macht, erkläre ich Dir morgen, wie man mit obiger Matrix weitermachen würde.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mi 20.05.2009 | | Autor: | so_magic |
sehr gut,dann hat wohl mein partner einen fehler drin und nicht ich :P
oooohhh ich hab mich wohl verrechnet...du hast vollkommen recht...!!!
hab nochmal nachgerechnet und bekomme jetzt wirklich in der letzten zeile [mm] \alpha+7 [/mm] raus :D!! das wär echt toll,wenn du es mir morgen erklären würdest..hab leider auch nur noch morgen zeit :S!!
danke und gute n8 :)
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> zu 2.)
> wenn ich den letzten vorschlag auf zeilenstufenform
> bringe, erhalte ich:
>
> ( 1 2 -1 | 3 )
> ( 0 2 -2 | -2 )
> ( 0 0 [mm]\alpha+1[/mm] | 0 )
>
> ABER wie muss ich jetzt weiter vorgehen? :(
Hallo,
wenn dieses ZSF richtig wäre, dann würdest Du jetzt eine Ranguntersuchung durchführen.
1. Für [mm] a\not=1 [/mm] hat die Koeffizientenmatrix den Rang 3.
Man erhält
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=-1+x_3=-1
[/mm]
[mm] x_1=3-2x_2+x_3=3-(-2)=5.
[/mm]
Also löst [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{5\\-1\\0} [/mm] das System, und in der geforderten Form sieht das so aus
[mm] L=\vektor{5\\-1\\0}+<\vektor{0\\0\\0}>.
[/mm]
2. Für a=-1 hat die Koeffizientenmatrix den Rang 2, der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist auch 2, also ist das System lösbar.
(Hätte man rechts unten statt der 0 eine 5 wäre es nicht lösbar.)
Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, wir haben drei Variablen, also kann man eine frei wählen. Ich wähle [mm] x_3=t.
[/mm]
Dann hat man
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=-1+t
[/mm]
[mm] x_1=3-2x_2+x_3=3-(-2+2t)+t=5-t
[/mm]
Also lösen alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{5-t\\-1+t\\t}=\vektor{5\\-1\\0}+t*\vektor{-1\\1\\1} [/mm] das System, also ist
[mm] L=\vektor{5\\-1\\0}+<\vektor{-1\\1\\1}>.
[/mm]
***
Noch etwas: sehr bequem ablesen kann man die Lösungen in der reduzierten ZSF.
Für a=-1 erhalten wir
[mm] \pmat{1&0&1&&| 5\\0&1&-1&&| -1\\0&0&\red{0}&&|0}.
[/mm]
Den Kern erhält man, indem man dort, wo Einsen auf der Hauptdiagonalen fehlen, hier also bei der roten 0, eine -1 hindenkt.
Die Spalten mit solchen Minuseinsen bilden eine basis des Kerns, hier: [mm] Kern=<\vektor{1\\1\\-1}>.
[/mm]
Rechts liest man eine spezielle Lösung ab, hier [mm] x_s=\vektor{5\\-1\\0}.
[/mm]
Wenn man Matrizen hat,die zu "klein" sind,also nicht quadratisch, schiebt man an den passenden Stellen Nullzeilen ein, setzt (im Geiste) die Minunseinsen, und dann geht's weiter wie oben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 21.05.2009 | | Autor: | so_magic |
hmmmm...
in der ersten teilaufgabe war mein ergebnis A für [mm] \alpha \not= [/mm] -7....
ich hab ja gestern noch geschrieben,dass ich auf [mm] \alpha+7 [/mm] in der ZSF komme,also muss ich doch immer wenn du +/- 1 eingesetzt hast, das richtige ergebnis einsetzen ,ne?
also bei 1. (deine letzte antwort) für [mm] \alpha \not=7 [/mm] rechnen..
2. [mm] \alpha= [/mm] -7
ist das richtig so?
und bei der reduzierten ZSF hast du [mm] \alpha=-1,jedoch [/mm] müsste ich an der stelle -7 dann einsetzen...aber wie kommst du in der 3.zeile auf 0 an der stelle des alphas??
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> in der ersten teilaufgabe war mein ergebnis A für [mm]\alpha \not=[/mm]
> -7....
> ich hab ja gestern noch geschrieben,dass ich auf [mm]\alpha+7[/mm]
> in der ZSF komme,also muss ich doch immer wenn du +/- 1
> eingesetzt hast, das richtige ergebnis einsetzen ,ne?
Hallo,
ich habe das sehr absichtlich für die Matrix, die Du zuerst gepostet hast, vorgemacht.
Ob Du nur das Detail mit der -7 verändern mußt oder mehr, weiß ich gar nicht.
> also bei 1. (deine letzte antwort) für [mm]\alpha \not=7[/mm]
> rechnen..
> 2. [mm]\alpha=[/mm] -7
>
> ist das richtig so?
Ja, das wären die beiden zu untersuchenden Fälle.
> und bei der reduzierten ZSF hast du [mm]\alpha=-1,jedoch[/mm] müsste
> ich an der stelle -7 dann einsetzen...aber wie kommst du in
> der 3.zeile auf 0 an der stelle des alphas??
Na! Ich habe da doch den Fall a=-1 untersucht.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Rückfragen als Fragen (roter Kasten), dann ist es nicht dem Zufall überlassen, ob sie gesehen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Do 21.05.2009 | | Autor: | so_magic |
obwohl ich die beiden fälle 1. [mm] \alpha [/mm] ungleich 7 und 2. [mm] \alpha=7 [/mm] untersucht habe,komme ich dennoch auf dein ergebnis für den vektor (5,-1,0)..dann erhalte ich wieder L= (5,-1,0) + (0,0,0)... nun werd ich aber das gefühl nicht los,dass es falsch sein muss...
deine erklärung anhand der reduzierten koeffizientenmatrix ist einleuchtend..denn ich würde dann -7 statt -1 einsetzen und würde für den kern (1,1,-7) erhalten... ich würde lieber diesen weg wählen wollen,aber ich hab keine ahnung,wie man auf so eine reduz. k.matrix kommt.... wäre das ergebnis überhaupt richtig??
es tut mir echt leid,wenn ich dich langsam nerve,aber ich bin grad ratlos...und verzweifle langsam an der aufgabe..hab auch keine zeit mehr,deswegen wäre es super lieb von dir,wenn du mir die letzten schritte vielleicht deutlich machen würdest,aber für den richtigen fall!!
danke und lg an dich :)
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> obwohl ich die beiden fälle 1. [mm]\alpha[/mm] ungleich 7 und 2.
> [mm]\alpha=7[/mm] untersucht habe,komme ich dennoch auf dein
> ergebnis für den vektor (5,-1,0)..dann erhalte ich wieder
> L= (5,-1,0) + (0,0,0)... nun werd ich aber das gefühl nicht
> los,dass es falsch sein muss...
Hallo,
prüfe es nach:
Du wirst feststellen, daß
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 1 & 8 & \alpha } $*\vektor{5\\-1\\0} [/mm]
in jedem Fall
$ [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ ergibt.
[mm] \vektor{5\\-1\\0} [/mm] eine spezielle Lösung.
Da die Koeffizientenmatrix für [mm] a\not=-7 [/mm] den Rang 3 hat, kann es ja nicht anders sein, als daß der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.
> deine erklärung anhand der reduzierten koeffizientenmatrix
> ist einleuchtend..denn ich würde dann -7 statt -1 einsetzen
> und würde für den kern (1,1,-7) erhalten...
Rechne das nochmal nach, und wenn Du wieder unten eine [mm] \pm [/mm] 7 stehen hast, rechne vor: dann können wir genau sehen, wo es klemmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 21.05.2009 | | Autor: | so_magic |
hmmmmmm... das problem is ja,dass du mir 2 wege notiert hast..über den ersten komme ich auf den kern,auf den du kommst...aber da ich bei der reduzierten matrix -7 einsetze,würde ich halt auf einen anderen kern kommen (2.weg)... bist du dir denn sicher,dass die spez.lsg und der kern richtig sind??
um ehrlich zu sein,bin ich grad total verwirrt und weiß nicht weiter,muss wohl oder übel aufgeben-hab halt keine ahnung,was ich falsch mache :(
aber danke dir sehr für deine hilfe!!!
vielen dank
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> hmmmmmm... das problem is ja,dass du mir 2 wege notiert
> hast..über den ersten komme ich auf den kern,auf den du
> kommst...aber da ich bei der reduzierten matrix -7
> einsetze,würde ich halt auf einen anderen kern kommen
> (2.weg)... bist du dir denn sicher,dass die spez.lsg und
> der kern richtig sind??
Hallo,
daß das richtig ist, was ich gerechnet habe, denke ich schon. An welcher Stelle hast Du Zweifel?
Natürlich muß beide Male derselbe Kern herauskommen.
Was erhältst Du denn als Kern?
Bedenke auch: wir berechnen eine Basis des Kerns, und die Basis eines Vektorraumes ist nicht eindeutig. Daraus, daß die Basen, die man ausrechnet, verschieden sind, weiß man noch nicht, daß die aufgespannten Räume auch verschieden sind.
Ich kann Dir schlecht helfen, wenn Du nicht vorrechnest. Meine Vorstellungskraft reicht hier nicht, ich muß genau sehen, was Du tust.
> um ehrlich zu sein,bin ich grad total verwirrt und weiß
> nicht weiter,muss wohl oder übel aufgeben-hab halt keine
> ahnung,was ich falsch mache :(
Wenn ich's sehen würde, könnte ich Dir's sagen.
Aber sehen tue ich ja nur etwas, wenn Du's zeigst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Do 21.05.2009 | | Autor: | so_magic |
also ich komme jaa AUF DEIN ERGEBNIS: spez. lsg = (5,-1,0) UND kern(A)= (-1,1,1)....dann müsste es ja richtig sein!!
ach ich glaube einfach,dass mich der weg mit der red. koeffizientenmatrix durcheinander gebracht hat und dass es eigentlich kann wirkliches problem gibt.hab mittlerweile alles geschafft und begründet!!
ich danke dir von ganzem herzen und wünsche dir eine sehr gute nacht..
und vielleicht bis zum nächst ;)
lg magic
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