Inverse einer linearen Abbild. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 12.09.2012 | | Autor: | quaxasd |
| Aufgabe | Bestimmen sie die zu [mm] L_1 [/mm] inverse Abbildung.
[mm] L_1: \IR^2 \to \IR_\le2[/mm]
[mm] \vmat{ a \\ b } \mapsto (a+b)x + (a-b)[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
das ist mein erster Beitrag in diesem Forum also seid bitte nachsichtig ;)
Ich hab irgendwie ein Problem, einen Ansatz zu der Aufgabe zu finden. Wie man die Inverse einer Matrix, die ja auch eine Abbildungsvorschrift sein kann, berechnet, weiß ich.
Ausserdem ist mir bekannt, dass wenn
[mm] L:V[/mm][mm]\to[/mm][mm] W [/mm] invertierbar mit Inverse M
[mm] M \circ L = I_V [/mm] ist.
Irgendwie fehlt mir jetzt aber der Ansatz den ich aufstellen kann, um loszurechnen!
Danke im Vorraus
Mfg
Quaxasd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die zu [mm]L_1[/mm] inverse Abbildung.
>
> [mm]L_1: \IR^2 \to \IR_\le2[/mm]
Was soll [mm] \IR_\le2 [/mm] sein ? Die Menge der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 ?
Unten stehen aber Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 1 ! ???
> [mm]\vmat{ a \\ b } \mapsto (a+b)x + (a-b)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute,
>
> das ist mein erster Beitrag in diesem Forum also seid bitte
> nachsichtig ;)
>
> Ich hab irgendwie ein Problem, einen Ansatz zu der Aufgabe
> zu finden. Wie man die Inverse einer Matrix, die ja auch
> eine Abbildungsvorschrift sein kann, berechnet, weiß ich.
>
> Ausserdem ist mir bekannt, dass wenn
> [mm]L:V[/mm][mm]\to[/mm][mm] W[/mm] invertierbar mit Inverse M
> [mm]M \circ L = I_V[/mm] ist.
> Irgendwie fehlt mir jetzt aber der Ansatz den ich
> aufstellen kann, um loszurechnen!
Ich gehe jetzt einfach davon aus, das [mm] L_1 [/mm] eine Abbildung vom [mm] \IR^2 [/mm] in die Menge aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 1 ist.
Sei ux+v ein solches Polynom. Nun suchen wir ein [mm] \vektor{a \\ b} \in \IR^2 [/mm] mit:
[mm] L_1(\vektor{a \\ b})=ux+v.
[/mm]
Es muß also gelten a+b=u und a-b=v.
Drücke nun a und b in Abhängigkeit von u und v aus.
FRED
>
> Danke im Vorraus
> Mfg
> Quaxasd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mi 12.09.2012 | | Autor: | quaxasd |
Hi,
danke für die schnelle Antwort. Ja ich meinte die reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 1.
Wenn ich a und b in abhängigkeit von u und v ausdrücke erhalte ich:
[mm]a= \bruch{u+v}{2} [/mm]
[mm]b= \bruch{u-v}{2} [/mm]
Ist mein Ergebnis der Inverse richtig?
[mm]L^-^1:= ux+v \mapsto \vektor{\bruch{u+v}{2} \\ \bruch{u-v}{2}} [/mm]
Mfg Quax
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> danke für die schnelle Antwort. Ja ich meinte die reellen
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 1.
>
> Wenn ich a und b in abhängigkeit von u und v ausdrücke
> erhalte ich:
> [mm]a= \bruch{u+v}{2}[/mm]
>
> [mm]b= \bruch{u-v}{2}[/mm]
> Ist mein Ergebnis der Inverse richtig?
> [mm]L^-^1:= ux+v \mapsto \vektor{\bruch{u+v}{2} \\ \bruch{u-v}{2}}[/mm]
Ja, das stimmt, nur Deine Schreibweise ist chaotisch.
Schreibe [mm] L^{-1}(ux+v)= \vektor{\bruch{u+v}{2} \\ \bruch{u-v}{2}}
[/mm]
FRED
>
> Mfg Quax
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst das auch über Abbildungsmatrizen erledigen ( was im vorliegenden Fall etwas aufwändiger ist als die von mir oben beschriebene Vorgehensweise):
Im Definitionsraum wähle die Basis [mm] B_1=\{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}\} [/mm] und im Zielraum die basis [mm] B_2 [/mm] = [mm] \{1,x\}
[/mm]
Bestimme nun die Abbildungsmatrix von [mm] L_1 [/mm] bezgl. [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] und invertiere diese Matrix.
FRED
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