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Forum "Determinanten" - Inverse in Z für det(A)=1
Inverse in Z für det(A)=1 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse in Z für det(A)=1: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Do 13.01.2011
Autor: diddy449

Aufgabe
Zeigen Sie, dass eine Matrix [mm] A\in\IZ^{nxn} [/mm] genau dann in [mm] IZ^{nxn} [/mm] invertierbar ist, wenn [mm] det(A)=\pm1 [/mm] gilt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey,
Ist meine erste Frage in diesem Forum.

Ich habe mir gedacht, das über die Adjunkte A' von A zu zeigen, denn [mm] A^{-1} [/mm] berechnet sich durch:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A' [/mm]

Da die Adjunkte sich durch die Operetionen +,-,* berechnet, ist [mm] A'\in\IZ^{nxn}, [/mm] wenn [mm] A\in\IZ^{nxn}. [/mm]

Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass immer mindestens ein Eintrag von A' nicht restlos in [mm] \IZ^{nxn} [/mm] durch det(A) teilbar ist.
Und hier stockt es jetzt leider. Ich habe da irgendwie keine so rechte Idee, warum das so sein muss.

Danke schon mal




        
Bezug
Inverse in Z für det(A)=1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Do 13.01.2011
Autor: Sigma

Hallo diddy449,

schöne Idee, leider wie du schon siehst schwer beweisbar.

Zeige doch einfach, das für alle [mm] $A\in\IZ^{nxn}$ [/mm] mit $ [mm] det(A)=\pm1 [/mm] $ gilt:

[mm] $det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1$ [/mm]

mfg sigma

Bezug
                
Bezug
Inverse in Z für det(A)=1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Do 13.01.2011
Autor: fred97


> Hallo diddy449,
>  
> schöne Idee, leider wie du schon siehst schwer beweisbar.
>  
> Zeige doch einfach, das für alle [mm]A\in\IZ^{nxn}[/mm] mit
> [mm]det(A)=\pm1[/mm] gilt:
>
> [mm]det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1[/mm]

Was soll der Blödsinn ?

Die Formel

               [mm]det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1[/mm]

gilt doch für jede invertierbare Matrix A !!

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

    [mm] $det(A\cdot [/mm] B) = det [mm] A\cdot [/mm] det B$ für alle [mm] $n\times [/mm] n$ -Matrizen A und B.

FRED

>  
> mfg sigma


Bezug
        
Bezug
Inverse in Z für det(A)=1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Do 13.01.2011
Autor: qsxqsx

Hallo,

Wieso nicht einfach mal bei einer 2x2 Matrix versuchen eine Vorgehensweise zu finden...?

A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

Die Inverse (für 2x2) kann man ja direkt so schreiben: [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a }*\bruch{1}{a*d - b*c} [/mm]

[mm] \bruch{a}{a*d - b*c} \in \IZ [/mm]
[mm] \bruch{b}{a*d - b*c} \in \IZ [/mm]
[mm] \bruch{c}{a*d - b*c} \in \IZ [/mm]
[mm] \bruch{d}{a*d - b*c} \in \IZ [/mm]

und jetzt mit kgV oder solchen Dingen zeigen dass das nicht für alle Brüche sein kann dass sie in [mm] \IZ [/mm] sind.
Und zum verallgemeinern dann für die allgemeine Determinante anwenden...- viel Spass!

Gruss



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