Inverse von Dreiecksmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 18.07.2006 | | Autor: | g_hub |
Ich wollte mal fragen, ob jmd ein möglichst einfaches Verfahren kennt, mit dem man eine reguläre (obere/untere) Dreiecksmatrix invertieren kann...
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo g_hub!
> Ich wollte mal fragen, ob jmd ein möglichst einfaches
> Verfahren kennt, mit dem man eine reguläre (obere/untere)
> Dreiecksmatrix invertieren kann...
Das ist recht einfach! Schreib doch mal das Gleichungssystem hin, was zu einer solchen Matrix gehoert! Dann hast du Gleichungen der Form (obere Dreiecksmatrix)
[mm] $a_{11} x_1 [/mm] + [mm] a_{12} x_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{1n} x_n [/mm] = [mm] b_1$
[/mm]
[mm] $a_{22} x_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{2n} x_n [/mm] = [mm] b_2$
[/mm]
[mm] $a_{nn} x_n [/mm] = [mm] b_n$
[/mm]
Und die [mm] $a_{ii}$ [/mm] sind invertierbar. Zuerst rechnest du [mm] $x_n [/mm] = [mm] a_{nn}^{-1} b_n$ [/mm] aus. Und dann [mm] $x_{n-1} [/mm] = [mm] a_{n-1,n-1}^{-1} (b_{n-1} [/mm] - [mm] a_{n-1,n} x_n)$, [/mm] und dann [mm] $x_{n-2} [/mm] = [mm] a_{n-2,n-2}^{-1} (b_{n-2} [/mm] - [mm] a_{n-2,n-1} x_{n-1} [/mm] - [mm] a_{n-2,n} x_n)$, [/mm] etc.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 18.07.2006 | | Autor: | g_hub |
dh, dass bei der Berechnung dann [mm] b=(b1,...,b_n) [/mm] = (0, ..., 1, ..., 0) gesetzt werden soll?
Ich kenne bereits ein Verfahren, bei dem man mit der gegebene Dreiecksmatrix A und der gesuchten Matrix B in der Gleichung AB=E ansetzt, und dann von unten rechts [mm] (b_{nn}=1/a_{nn}) [/mm] nach oben rechts (sehr lange formel) einsetzt...
Das ist mir alles irgendwie zu viel Rechnerei... 
Gehts wirklich nicht einfacher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> dh, dass bei der Berechnung dann [mm]b=(b1,...,b_n)[/mm] = (0, ...,
> 1, ..., 0) gesetzt werden soll?
Genau.
> Ich kenne bereits ein Verfahren, bei dem man mit der
> gegebene Dreiecksmatrix A und der gesuchten Matrix B in der
> Gleichung AB=E ansetzt, und dann von unten rechts
> [mm](b_{nn}=1/a_{nn})[/mm] nach oben rechts (sehr lange formel)
> einsetzt...
Hoert sich im Prinzip nach den gleichen Verfahren an, nur das halt alle solchen $b$'s wie du oben beschrieben hast gleichzeitig benutzt werden.
> Das ist mir alles irgendwie zu viel Rechnerei...
So viel ists auch wieder nicht :) Im Allgmeinen gehts (leider) nicht einfacher...
LG Felix
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