Inverse von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 13.11.2005 | | Autor: | trixi86 |
hallo ihr!
ich hab da eine Aufgabe die ich lösen soll aber leider keine Ahnung wie ich das problem angehen soll. Wär lieb wenn mir jemand helfen könnt. Die Aufgabe lautet wie folgt:
sei A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] eine 2 x 2 Matrix über [mm] \IR
[/mm]
für welche a, b, c, d E [mm] \IR [/mm] ist A invertierbar?
Wie sieht in diesem Fall die Inverse aus?
wie gesagt ich leider keine ahnung wie man das im allgemeinen löst. ich bin über jede hilfe dankbar!
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 13.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Die gleiche Aufgabe fliegt hier öfter rum.
Eine Matrix kann invertiert werden, indem
man sie aud red. Zeilenstufenform bringt.
Die Rechenoperationen die hierzu nötig sind
werden auf die Einheitsmatrix angewendet
die somit zur inversen wird.
Man schreibt es so [A | I].
Die ersten zwie Schritte könnten so aussehen:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
Du kannst jetzt z.B. Die erste Zeile mal -c und die zweite
mal a nehmen und addierst beide Zeiden. Das gleiche
musst du dann noch mit I machen.
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & ad-bc } \pmat{ 1 & 0 \\ -c & a}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc}}
[/mm]
mfg
Kohei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 13.11.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hallo!
Mir ist klar wie man die Inverse irgendeiner Matrix berechnet sofern diese aus Zahlen besteht. Was mir nicht klar ist, ist wie man mit einer Matrix zu verfahren hat die so ausschaut:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a & b & c & d \\}
[/mm]
vielen dank für eure Hinweise!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 13.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Nadine,
der Ansatz wurde doch schon genannt : du musst eben die Variablen als solche stehen lassen und mit den Buchstaben so rechnen, als wäre sie Zahlen..
Also , einheitsmatrix daneben schreiben :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a & b & c & d \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\} [/mm] $
nach drei Schritten hat man schon :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -a & -b & -c & 1 \\} [/mm] $
und dann noch :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -a/d & -b/d & -c/d & 1/d \\} [/mm] $
da hast du dann links deine Inverse stehen
(natürlich weiterhin abhängig von den Variablen ! und d darf nie 0 sein ..)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 13.11.2005 | | Autor: | nadine19 |
danke, mein verständnis problem hatte wohl damit zu tun, dass meine kenntnisse der schularithmetik und -algebra schon sehr verstaubt sind. und ich daher einfach nicht auf die idee kam die erste zeile mit [mm] \bruch{-a}{1} [/mm] etc. zu multiplizieren um in der letzten die unbekannten variablen "wegzubekommen". vielen lieben dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 13.11.2005 | | Autor: | trixi86 |
also ich hab mir jetzt nochmal gedanken zu der aufgabe gemacht und bin zu dem entschluss gekomme, dass ich diese aufgabe mit hilfe der determinante llösen könnte
A ist doch invertierbar,wenn det(A) [mm] \not= [/mm] 0
die determinante von A lässt sich doch so berechnen:
Det(A) = ad - bc oder??
und daraus folgt ja dann für ad - bc [mm] \not= [/mm] 0 besitzt A eine inverse. allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen soll.denn für welche a, b, c, d A invertierbar ist weiß ich ja immer nochnicht und wei die Inverse aussieht erst recht nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 13.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> A ist doch invertierbar,wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0
>
> die determinante von A lässt sich doch so berechnen:
>
> Det(A) = ad - bc oder??
>
> und daraus folgt ja dann für ad - bc [mm]\not=[/mm] 0 besitzt A
> eine inverse. allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich
> weiter machen soll.denn für welche a, b, c, d A
> invertierbar ist weiß ich ja immer nochnicht
du hast es doch schon geschrieben :
A ist invertierbar, wenn $ad [mm] \not= [/mm] bc$ gilt.
(Damit hast du doch eine charackterisierung für a,b,c,d und A)
> und wei die Inverse aussieht erst recht nicht!
Dazu müsstest du mal den Ansatz oben zu Ende rechnen, dann sieht man, dass :
[mm] $\pmat{a&b\\c&d}^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}*\pmat{d&-b\\-c&a}$ [/mm] ist
(Jetzt sieht man auch, warum die Determinant = Nenner ungleich 0 sein muss)
viele Grüße
DaMenge
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