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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Seien A, A' [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
Und A' A = [mm] I_n [/mm]
So folgt A invertierbar, [mm] A^{-1} [/mm] = A' |
Hallo
Beweis im Skriptum:
[mm] \psi_A [/mm] : [mm] \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^n
[/mm]
[mm] \psi_{A'} [/mm] : [mm] \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^n
[/mm]
[mm] \psi_{A'} \circ \psi_A [/mm] = [mm] \psi_{A'A} [/mm] = [mm] \psi_{I_n} [/mm] = [mm] id_{\IK^n}
[/mm]
=> [mm] \psi_A [/mm] muss injektiv sein
=> wegen Dimensionsgründen (Lemma) [mm] \psi_A [/mm] Isomorphismus => A invertierbar.
Frage:
Mir ist nicht klar warum folgt dass [mm] \psi_A [/mm] injektiv ist??
Alles andere ist klar.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien A, A' [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> Und A' A = [mm]I_n[/mm]
> So folgt A invertierbar, [mm]A^{-1}[/mm] = A'
> Hallo
> Beweis im Skriptum:
> [mm]\psi_A[/mm] : [mm]\IK^n[/mm] -> [mm]\IK^n[/mm]
> [mm]\psi_{A'}[/mm] : [mm]\IK^n[/mm] -> [mm]\IK^n[/mm]
> [mm]\psi_{A'} \circ \psi_A[/mm] = [mm]\psi_{A'A}[/mm] = [mm]\psi_{I_n}[/mm] =
> [mm]id_{\IK^n}[/mm]
> => [mm]\psi_A[/mm] muss injektiv sein
> => wegen Dimensionsgründen (Lemma) [mm]\psi_A[/mm] Isomorphismus
> => A invertierbar.
>
> Frage:
> Mir ist nicht klar warum folgt dass [mm]\psi_A[/mm] injektiv ist??
Sei x [mm] \in \IK^n [/mm] und [mm] \psi_A(x)=0. [/mm] Dann ist
x= [mm] id_{\IK^n}(x)= \psi_{A'}(\psi_A(x))= \psi_{A'}(0)=0.
[/mm]
FRED
>
> Alles andere ist klar.
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für die Antwort.
Habe es verstanden,
LG
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