Invertierbare Elemente < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Do 13.12.2012 | | Autor: | anig |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle invertierbaren Elemente (bzgl. der Multiplikation!!!) in
[mm] \IZ/21\IZ, \IZ/63\IZ [/mm] und [mm] \IZ/49\IZ. [/mm] |
Ok also ich weiß wie man das mit konkreten Zahlen berechnet. Das Problem ist nur, dass wir die Inverse zu diesem Thema noch nicht besprochen haben. Könnt ihr mir da ein Beispiel geben, wie das funktioniert??
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Hallo
weisst du, dass gilt: für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] z\in \IZ/n\IZ [/mm] genau dann invertierbar, wenn ggt(n,z)=1?
Damit sollte es dann gehen.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 13.12.2012 | | Autor: | anig |
Ja schon. Aber ich bräuchte ein konkretes Beispiel, da ich ja kein z habe. Es muss ja wahrscheinlich algemein formuliert werden?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 13.12.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Schaue doch mal wie zb [mm] \IZ/21\IZ [/mm] konkret als Menge aussieht und schreibe sie auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 14.12.2012 | | Autor: | anig |
ok also ich habe für
[mm] \IZ/21\IZ: [/mm] Menge besteht aus (0,1,2...,20) und bin dann jedes element durchgegangen mittels ggT. Komme dann auf Inverse (1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20). Muss ich dass bei den anderen mengen auch so machen, oder gibt es da eine kürzere Variante?
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Hallo,
alles prima bis auf, dass du auf die Klammerung achten musst und es kenntlich machen solltest, dass die Elemente Restklassen sind, also man schreibt [mm] \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}...,\overline{20} \} [/mm] und dann auch so in der Form die anderen Mengen. Das was du raus bekommen hast stimmt dann aber (nur richtig aufschreiben ;) ). Und so dann auch mit den anderen Mengen. Wenn du den Satz aber nicht kennst, dann solltest du dir den Beweis ansehen oder überlegen. Was kürzeres ist mir jetzt nicht bekannt. Bei größeren Mengen kann das natürlich recht nervig werden, allerdings kann eine Sache das Ganze ziemlich vereinfachen, was hier aber leider nicht bei deinen Mengen der Fall ist: Wenn [mm] \IZ/p\IZ [/mm] p Primzahl, genau in dem Fall ist [mm] \IZ/p\IZ \cong \IF_{p} [/mm] Körper und für einen Körper K sind die multiplikativen Inversen gerade [mm] K\backslash \{0\} [/mm] .
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