Invertierbare Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Ihr!
Habe folgende Aufgabe:
Sei A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] eine 2 [mm] \times2 [/mm] Matrix über [mm] \IR. [/mm]
Für welche a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] ist A invertierbar? Wie sieht A in diesem Falle aus?
Ich habe es so gelöst:
Bedingungen für Invertierbarkeit:
(1) (a=c [mm] \wedge [/mm] b [mm] \not= [/mm] d)
[mm] \vee [/mm] (2) [mm] (c=\lambda [/mm] a [mm] \wedge d\not=\lambda [/mm] b)
[mm] \vee [/mm] (3) (a=c [mm] \wedge d=\lambda [/mm] b)
da Ax = 0 mit (1) oder (2) oder (3) nur die triviale Lösung 0 hat.
A schaut dann bei mir etwa bei (1) so aus:
A= [mm] \pmat{ a & b \\ a & d }
[/mm]
Vielen Dank für Eure Anregungen oder vernichtenden Korrekturen! 
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme mal an ihr hattet noch keine Determinanten... 
Dann ist die Matrix ja genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
Bringen wir die Matrix
[mm] $\pmat{a & b \\ c & d}$
[/mm]
auf Zeilenstufenform (indem wir die das $c$-fache der ersten Zeile vom $a$-fachen der zweiten Zeile abziehen), dann erhalten wir:
[mm] $\pmat{a & b \\ 0 & ad-bc}$,
[/mm]
und diese Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn $ad-bc [mm] \ne [/mm] 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
Danke für die Antwort!
Leider hab ich keine Ahnung was der Rang einer Matrix ist, kam noch nicht dran, deshalb darf ich in den Übungen damit nicht argumentieren.
Gibts keine andere Möglichkeit oder ist meine radikal falsch?
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, deine Lösung kann ich nicht nachvollziehen.
Wenn ihr (wie es scheint) gar keine Sätze zur Verfügung habt, dann musst du halt knallhart ein [mm] $4\times [/mm] 4$-LGS aufstellen über
[mm] $\pmat{e & f \\ g & h} \cdot \pmat{a & b \\ c & d} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
und schauen, wann dies eine Lösung besitzt.
Viel "Spaß" dabei! ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Habt ihr wirklich kein einziges Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix? Wie bist du denn dann auf deine Ansätze gekommen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 Sa 12.11.2005 | | Autor: | SirBigMac |
Naja, unser einziges Kriterium für invertierbare Matrizen ist bisher:
"A ist genau dann invertierbar, wenn sich A mit elementaren Zeilenumformunegn in die Einheitsmatrix überführen lässt"
Aber anders, als mit dem 4x4-LGS kann man die Aufgabe ja dann nicht lösen, oder?
Gruß
SirBigMac
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Hallo!
> Naja, unser einziges Kriterium für invertierbare Matrizen
> ist bisher:
>
> "A ist genau dann invertierbar, wenn sich A mit elementaren
> Zeilenumformunegn in die Einheitsmatrix überführen lässt"
Na, dann nimm doch Stefans Ansatz, wenn dort b=0 ist, und die beiden Diaonalelemente (ich glaub das waren a und ad-bc) =1, dann hast du ja die Einheitsmatrix.
> Aber anders, als mit dem 4x4-LGS kann man die Aufgabe ja
> dann nicht lösen, oder?
Das dürfte auf jeden Fall auch richtig sein. Allerdings würde ich nicht sagen, dass du Sachen, die ihr noch nicht in der Vorlesung hattet, nicht benutzen dürft. Naja, ok, wichtige Sätze, die ihr vielleicht erst noch beweisen müsst, solltest du vielleicht nicht benutzen, aber in diesem Fall finde ich die Aufgabe so recht seltsam. Am einfachsten wäre wohl die Sache mit der Determinante...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Ich hätte auch noch ne Idee. Aber es kann ja
sein das ich hier irgendwas noch nicht richtig
verstehe. Sollte das so sein, dann Sorry.
SirBigMac schrieb:
"A ist genau dann invertierbar, wenn sich A mit
elementaren Zeilenumformunegn in die Einheitsmatrix
überführen lässt"
Diese Aussage ist doch ein gutes Kriterium oder nicht?
Da diese Aussage bekannt, ist kann sie doch auch
genutzt werden. Das ist doch ein gutes Verfahren zur
Matrixinversion, denn
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] E_{k}...E_{2}E_{1}I_{n}
[/mm]
Das bedeutet doch, man erhält die Inverse einer Matrix
A indem man eine Folge elementarer Zeilenoperationen bestimmt,
die A zur Einheitsmatrix umformen, und diese Folge wendet man
dann auf [mm] I_{n} [/mm] an. Hierbei können doch dann alle Aussagen
getroffen werden. Denke ich zumindest.
Grüße Kohei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Es gibt da einen Satz, der denke ich die Lös. schon Verrät.
Er gilt soweit mir bekannt ist für beliebige quad. Matrizen.
Satz: Die Matrix
A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
ist für ad-bc [mm] \not= [/mm] 0 invertierbar. In diesem Fall gilt
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Ich hoffe es bringt Dich weiter.
lg Kohei
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