Invertierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Sei m ∈N und A = (ai,j)1≤i,j≤m ∈ Matm(R) mit
[mm] \summe_{j=1, j \not= i}^{m} \left| a_i,j \right| [/mm] < [mm] \left| a_i,i \right| [/mm]
für alle i ∈{1,...,m}. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.
Hinweis: Sei K ein Körper, m ∈ N und A ∈ Matm(K). Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
(i) Die Matrix A ist invertierbar.
(ii) Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 hat nur die Lössung x = 0 ∈ Km. |
Hallo, ich bräuchte bitte einen Tipp, wie ich an die Sache herangehen soll.
Ich habe versucht, mir die Matrix A zu notieren, mit den Bedingungen dass i ungleich j und [mm] a_i,i [/mm] grösser wie [mm] a_i,j [/mm] , aber ich bekomme eine Matrix, die nicht invertierbar sein kann. Also ist irgendwo ein Fehler und ich komme auf keine bessere Idee.
Danke für euere Hife!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 09.11.2016 | | Autor: | hippias |
Zeig' doch mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Ich dachte mir, dass die Werte der Diagonale 0 sind, da i ungleich j
Und dass alle Werte rechts oberhalb der Hauptdiagonale 0 sind, da [mm] a_i,j [/mm] < [mm] a_i,i [/mm]
Unterhalb der Diagonalen sind alle Werte ungleich null
Aber ich denke ich habe das vermutlich komplett falsch verstanden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei m ∈N und A = (ai,j)1≤i,j≤m ∈ Matm(R) mit
> [mm]\summe_{j=1, j \not= i}^{m} \left| a_i,j \right|[/mm] < [mm]\left| a_i,i \right|[/mm]
>
> für alle i ∈{1,...,m}. Zeigen Sie, dass A invertierbar
> ist.
> Hinweis: Sei K ein Körper, m ∈ N und A ∈ Matm(K). Die
> folgenden Aussagen sind äquivalent.
> (i) Die Matrix A ist invertierbar.
> (ii) Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 hat nur die
> Lössung x = 0 ∈ Km.
> Hallo, ich bräuchte bitte einen Tipp, wie ich an die
> Sache herangehen soll.
da steht doch einer ;) Nummer (ii) des Hinweises!
> Ich habe versucht, mir die Matrix A zu notieren, mit den
> Bedingungen dass i ungleich j und [mm]a_i,i[/mm] grösser wie [mm]a_i,j[/mm]
> , aber ich bekomme eine Matrix, die nicht invertierbar sein
> kann. Also ist irgendwo ein Fehler und ich komme auf keine
> bessere Idee.
> Danke für euere Hife!!
Du kannst Dir A nicht notieren. Aber ich kann Dir mal mit Worten sagen,
was da steht:
Wenn Du auch nur irgendeine Zeile aus der Matrix A herauspickst, dann
gilt, dass das Diagonalelement vom Betrag her echt größer ist als die
Summe der Beträge der restlichen Einträge dieser Zeile.
So wäre etwa (die Matrizen sind quadratisch)
[mm] $A=\pmat{-7 & 2 & -3 \\ 4 & 12 & 6\\ 7 & 8 & -119}$
[/mm]
geeignet, denn:
$7=|-7| > |2|+|-3|=2+3=5$
$12=|12| > |4|+|6|=4+6=10$
$119=|-119| > |7|+|8|=7+8=15$
Aber
[mm] $A'=\pmat{-7 & 2 & -3 &12 \\ 4 & 12 & 6 &3 \\ 7 & 8 & -119 &16 \\ 1 & 1 & 1 & \red{-1}}$
[/mm]
wäre offenbar ungeeignet, da schon in der letzten Zeile
[mm] $|\red{-1}|=1$ [/mm] nicht echt größer als $|1|+|1|+|1|=1+1+1=3$ ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
Das hat mir schon viel geholfen.
Könnte man so argumentieren, dass das Diagonalelement nie null sein kann, da, es grösser sein muss als die Summe restlichen Elemente und damit die Determinante ungleich 0 ist?
Mit dem Hinweis Ax = 0 kann ich leider nicht viel anfangen. Ich weiss, wie man das Gleichungsystem lösen würde, aber warum darf man annehmen, dass es homogen ist und nicht inhomogen? Tut mir leid, ich steh ziemlich auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 09.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort!
> Das hat mir schon viel geholfen.
> Könnte man so argumentieren, dass das Diagonalelement nie
> null sein kann, da, es grösser sein muss als die Summe
> restlichen Elemente und damit die Determinante ungleich 0
> ist?
das Argument reicht nicht. In der Matrix [mm] $\pmat{1 & 1\\ 1 & 1}$ [/mm] sind auch alle Diagonalelemente
von Null verschieden, die Determinante ist dennoch offensichtlich [mm] $0\,.$
[/mm]
> Mit dem Hinweis Ax = 0 kann ich leider nicht viel anfangen.
> Ich weiss, wie man das Gleichungsystem lösen würde, aber
> warum darf man annehmen, dass es homogen ist und nicht
> inhomogen? Tut mir leid, ich steh ziemlich auf dem
> Schlauch.
Da steht, dass die Aussagen gleichwertig sind. Ich beweise Dir das gerne:
Sei $I$ die Identitätsmatrix der Größe [mm] $m\,$ [/mm] (also die $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix, die nur
genau auf der Diagonalen 1en stehen hat und sonst nur 0en enthält).
(i) liefert (ii):
Wenn A invertierbar ist, dann existiert eine Matrix B der Größe m mit AB=I
und BA=I und man schreibt wie üblich [mm] $A^{-1}:=B$ [/mm] dafür (Eindeutigkeit des
Inversen braucht man dafür).
Betrachtet man Ax=0 (die 0 rechts ist der Spaltenvektor mit m Nulleinträgen),
so folgt
[mm] $x=I*x=(A^{-1}A)x=A^{-1}(Ax)=A^{-1}0=0$,
[/mm]
d.h. $Ax=0$ impliziert [mm] $x=0\,.$ [/mm] Und wegen $A*0=0$ ist auch [mm] $x=0\,$ [/mm] eine Lösung
von [mm] $Ax=0\,.$
[/mm]
(ii) liefert (i): Wir wollen zeigen, dass, wenn [mm] $Ax=0\,$ [/mm] nur lösbar durch $x=0$ ist,
dann auch A invertierbar ist. Betrachte die Abbildung [mm] $f_A$ [/mm] mit [mm] $f_A(x):=Ax$.
[/mm]
Diese ist linear und der Kern ist [mm] $\{0\}$ [/mm] nach Voraussetzung, also ist sie injektiv.
Weil die Dimension des Definitionsbereichs und des Zielbereichs gleich
sind und endlich, ist sie bijektiv. Also existiert für [mm] $f_A$ [/mm] eine lineare Umkehrabbildung,
welche durch eine quadratische Matrix [mm] $A\,'$ [/mm] der Größe m beschrieben werden
kann, und diese Matrix [mm] $A\,'$ [/mm] ist eben nichts anderes als das Inverse von [mm] $A\,.$
[/mm]
P.S. Der Beweis zu "(ii) liefert (i)" ist etwas *flapsig*, ich hoffe aber, dass
keines der Argumente irgendwo zu missverständlich oder deswegen zu
schwammig wirkt. Den Satz findest Du aber sicher in einigen Büchern zur
linearen Algebra!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 10.11.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo, vielen Dank für den ausführlichen Beweis!
Das allgemeine habe ich soweit verstanden, aber ich verstehe immer noch nicht, warum man bei dieser Aufgabe einfach annehmen darf, dass es homogen ist. Soll ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen und zeigen, dass es nur 0 als Lösung geben kann?
Sorry, aber ich hab nach wie vor leider keine Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Fr 11.11.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Franzi17,
> Hallo, vielen Dank für den ausführlichen Beweis!
> Das allgemeine habe ich soweit verstanden, aber ich
> verstehe immer noch nicht, warum man bei dieser Aufgabe
> einfach annehmen darf, dass es homogen ist. Soll ich die
> Matrix in Zeilenstufenform bringen und zeigen, dass es nur
> 0 als Lösung geben kann?
> Sorry, aber ich hab nach wie vor leider keine Idee, wie ich
> die Aufgabe lösen kann.
Nimm eine kleine (z.B. 3 x 3), allgemeine Matrix und bringe sie z.B. mit
dem Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform.
Lässt sich mit der angegebenen Bedingung sicher stellen, dass alle
Diagonalelemente der entstandenen oberen oder unteren Dreiecksmatrix
ungleich Null sind, dann hat das homogene Gleichungssystem nur die
Lösung 0.
Lässt sich das für m x m-Matrizen verallgemeinern?
Gruß
meili
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Hallo, ich habe jetzt diese Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix} [/mm]
in Zelenstufenform gebracht:
Dann Ax = 0 geesetzt,
mit x = [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm]
Daraufhin habe ich nach dem Auflösen der Gleichung, folgendes bekommen:
(gbf - gec + hcd - haf -bdi + eai) * z = 0
Hier wollte ich weiter einen Widerspruchsbeweis machen, also annehmen, dass es für Ax = 0 mehr als die triviale Lösung gibt.
deshalb: z = 0
dann muss:
gbf - gec + hcd -haf -bdi + eai = 0
Da das die Determinante ist, wäre die Matrix dann nicht invertierbar.
ich habe noch ausgeklammert:
g(bf - ec) + h(cd -af) - i(bd -ea) = 0
Und jetzt komme ich leider wieder nicht mehr weiter, da ich nicht weiss wie ich mit den Bedinungen zeigen kann, dass das ein Widerspruch ist.
Anhand der Bedingungen weiss ich dass a, e, i ungleich 0 sind, aber das hilft mir leider nicht weiter.
Danke!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 15.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 13.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 13.11.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo! Ich wäre noch an einer Antwort interessiert! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Di 15.11.2016 | | Autor: | hippias |
Angenommen $Ax=0$ mit [mm] $x\neq [/mm] 0$. Sei [mm] $x_{l}$ [/mm] betragsmässig maximale Koordinaten von $x$. Betrachte nun die Geichung [mm] $\left(Ax\right)_{l}=0$ [/mm] und schätze ab.
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