Invertierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 24.05.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] f(x,y)= [mm] cos(x^{2}-y^{2})*cosh(xy), sin(x^{2}-y^{2})*sinh(xy).
[/mm]
Berechnen Sie die Funktionalmatrix [mm] d_{x,y}f [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Bestimmen Sie ferner die Punkte, die in [mm] d_{x,y}f [/mm] invertierbar ist. |
Hallo zusammen,
bis zur Funktionalmatrix ist eigentlich alles klar, die bekomm ich über die partiellen Ableitungen:
[mm] d_{x,y}f [/mm] = [mm] \pmat{ -2x*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*y*sinh(xy) & 2y*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*x*sinh(xy) \\ 2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy) & -2y*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*x*cosh(xy) }
[/mm]
Nun ist [mm] d_{x,y}f [/mm] ja genau dann invertierbar, wenn die Determinante von [mm] d_{x,y}f [/mm] ungleich Null ist.
det [mm] d_{x,y}f= 2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy)= (-2x*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*y*sinh(xy)) [/mm] * [mm] (-2y*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*x*cosh(xy)) [/mm] - [mm] (2y*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*x*sinh(xy)) [/mm] * [mm] 2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy)
[/mm]
Nun ja, hat da jmd einen geschulten Blick für.. ? denn wenn ich das ausklammer, wird das ganze nur noch länger, da ich nichts rausgekürzt bekomme, sodass det [mm] d_{x,y}f [/mm] nur dann Null ist, wenn x und y null sind... bin mir insgesamt einfach alles andere als sicher, eben weil das ganze so lang wird.. =/
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Betrachten Sie die Funktion [mm]f:\IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] f(x,y)=
> [mm]cos(x^{2}-y^{2})*cosh(xy), sin(x^{2}-y^{2})*sinh(xy).[/mm]
>
> Berechnen Sie die Funktionalmatrix [mm]d_{x,y}f[/mm] für alle x,y
> [mm]\in \IR.[/mm]
> Bestimmen Sie ferner die Punkte, die in [mm]d_{x,y}f[/mm]
> invertierbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> bis zur Funktionalmatrix ist eigentlich alles klar, die
> bekomm ich über die partiellen Ableitungen:
> [mm]d_{x,y}f[/mm] = [mm]\pmat{ -2x*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*y*sinh(xy) & 2y*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*x*sinh(xy) \\ 2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy) & -2y*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*x*cosh(xy) }[/mm]
>
> Nun ist [mm]d_{x,y}f[/mm] ja genau dann invertierbar, wenn die
> Determinante von [mm]d_{x,y}f[/mm] ungleich Null ist.
>
> det [mm]d_{x,y}f= 2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy)= (-2x*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*y*sinh(xy))[/mm]
> *
> [mm](-2y*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*x*cosh(xy))[/mm]
> -
> [mm](2y*sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)+cos(x^{2}-y^{2})*x*sinh(xy))[/mm]
> * [mm]2x*cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)+sin(x^{2}-y^{2})*y*cosh(xy)[/mm]
>
> Nun ja, hat da jmd einen geschulten Blick für.. ? denn wenn
> ich das ausklammer, wird das ganze nur noch länger, da ich
> nichts rausgekürzt bekomme, sodass det [mm]d_{x,y}f[/mm] nur dann
> Null ist, wenn x und y null sind... bin mir insgesamt
> einfach alles andere als sicher, eben weil das ganze so
> lang wird.. =/
Substituiere
[mm]u\left(x.y\right)=x^{2}-y^{2}[/mm]
[mm]v\left(x.y\right)=x*y[/mm]
Dann schreibt sich die Funktionalmatrix
[mm]\pmat{ -u_{x}*sin(u)*cosh(v)+v_{x}*cos(u)*sinh(v) & -u_{y}*sin(u)*cosh(v)+v_{y}*cos(u)*sinh(v) \\ u_{x}*cos(u)*sinh(v)+v_{x}*sin(u)*cosh(v) & u_{y}*cos(u)*sinh(v)+v_{y}*sin(u)*cosh(v) }[/mm]
Als weiteren Schritt definieren wir
[mm]f_{1}\left(x,y\right)=\sin\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)*\cosh\left( \ v\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
[mm]f_{2}\left(x,y\right)=\cos\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)*\sinh\left( \ v\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
Mit diesen Definition lautet die Funktionalmatrix:
[mm]\pmat{ -u_{x}*f_{1}+v_{x}*f_{2} & -u_{y}*f_{1}+v_{y}*f_{2} \\ u_{x}*f_{2}+v_{x}*f_{1} & u_{y}*f_{2}+v_{y}*f_{1} }[/mm]
Damit ist jetzt die Determinante dieser Funktionalmatrix einfacher berechenbar.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 24.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo und erst einmal vielen Dank für deine Mühe !
Die Substitution macht das ganze schon mal deutlich anschaulicher...
ich führe mal aus:
det [mm] d_{x,y}f= (-u_{x}*f_{1}+v_{x}*f_{2})*(u_{y}*f_{2}+v_{y}*f_{1}) [/mm] - [mm] (-u_{y}*f_{1}+v_{y}*f_{2})*(u_{x}*f_{2}+v_{x}*f_{1})
[/mm]
= [mm] -u_{x}*u_{y}*f_{1}*f_{2} [/mm] - [mm] u_{x}*v_{y}*f_{1}^{2} [/mm] + [mm] u_{y}*v_{x}*f_{2}^{2} [/mm] + [mm] v_{x}*v_{y}*f_{1}*f_{2} [/mm] + [mm] u_{x}*u_{y}*f_{1}*f_{2} [/mm] + [mm] u_{y}*v_{x}*f_{1}^{2} [/mm] - [mm] u_{x}*v_{y}*f_{2}^{2} [/mm] - [mm] v_{x}*v_{y}*f_{1}*f_{2}
[/mm]
[mm] =f_{1}^{2}(-u_{x}*v{y}+u_{y}*v_{x}) [/mm] + [mm] f_{2}^{2}(u_{y}*v{x}+u_{x}*v_{y})
[/mm]
[mm] =f_{1}^{2}(-2x^{2}-2y^{2}) [/mm] + [mm] f_{2}^{2}(-2y^{2}+2x^{2})
[/mm]
Nun ja, ist es nun richtig zu sagen, dass die Determinante nur null wird (also die Funktionalmatrix nicht invertierbar ist), wenn x,y=0 ist?
Ich hab so die Befürchtung, dass es nicht ausreichend ist...
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo und erst einmal vielen Dank für deine Mühe !
>
> Die Substitution macht das ganze schon mal deutlich
> anschaulicher...
> ich führe mal aus:
>
> det [mm]d_{x,y}f= (-u_{x}*f_{1}+v_{x}*f_{2})*(u_{y}*f_{2}+v_{y}*f_{1})[/mm]
> - [mm](-u_{y}*f_{1}+v_{y}*f_{2})*(u_{x}*f_{2}+v_{x}*f_{1})[/mm]
> = [mm]-u_{x}*u_{y}*f_{1}*f_{2}[/mm] - [mm]u_{x}*v_{y}*f_{1}^{2}[/mm] +
> [mm]u_{y}*v_{x}*f_{2}^{2}[/mm] + [mm]v_{x}*v_{y}*f_{1}*f_{2}[/mm] +
> [mm]u_{x}*u_{y}*f_{1}*f_{2}[/mm] + [mm]u_{y}*v_{x}*f_{1}^{2}[/mm] -
> [mm]u_{x}*v_{y}*f_{2}^{2}[/mm] - [mm]v_{x}*v_{y}*f_{1}*f_{2}[/mm]
> [mm]=f_{1}^{2}(-u_{x}*v{y}+u_{y}*v_{x})[/mm] +
> [mm]f_{2}^{2}(u_{y}*v{x}+u_{x}*v_{y})[/mm]
> [mm]=f_{1}^{2}(-2x^{2}-2y^{2})[/mm] + [mm]f_{2}^{2}(-2y^{2}+2x^{2})[/mm]
>
> Nun ja, ist es nun richtig zu sagen, dass die Determinante
> nur null wird (also die Funktionalmatrix nicht invertierbar
> ist), wenn x,y=0 ist?
> Ich hab so die Befürchtung, dass es nicht ausreichend
> ist...
Nach meinen Rechnungen komme ich auf
[mm]\left(u_{y}*v_{x}-u_{x}*v_{y}\right)*\left(f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\right)[/mm]
[mm]=-2\left(y^{2}+x^{2}\right)*\left(f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\right)[/mm]
Nun, um alle die Werte auszuschliessen, für die Determinante verschwindet,
sind 2 Fälle zu untersuchen:
1) [mm]x^{2}+y^{2}=0[/mm]
2) [mm]f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=0[/mm]
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 24.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Oh ja, hatte einen Vorzeichenfehler drin...
Nun, 1) gilt ja offensichtlich ja nur, sofern x,y=0 sind.
Ebenso doch auch 2), da ja alles quadriert ist.. !
Seh' ich das so richtig?
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Oh ja, hatte einen Vorzeichenfehler drin...
>
> Nun, 1) gilt ja offensichtlich ja nur, sofern x,y=0 sind.
> Ebenso doch auch 2), da ja alles quadriert ist.. !
> Seh' ich das so richtig?
Mit dem Fall 1) hast Du recht, und im Fall 2) nur teilweise.
Der Fall 2) kann ja nur 0 werden, wenn
[mm]f_{1}=\sin\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)*\cosh\left( \ v\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
und
[mm]f_{2}=\cos\left( \ u\left(x,y\right) \ \right)*\sinh\left( \ v\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
Hier musst Du jetzt noch ne Fallunterscheidung machen:
[mm]f_{1}=0 \gdw \sin\left(u\right)=0 \vee \cosh\left(v\right)=0[/mm]
Letzteres ist auszuschliessen, da [mm]\cosh\left(v\right) \ge 1, \ v \in \IR[/mm]
Bleibt also [mm]\sin\left(u\right)=0[/mm]
Daraus leitet sich dann ab, wann [mm]f_{2}=0[/mm] ist.
>
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Sierra |
und nochmal hallo ;)
ich habe nun die Bedingungen
[mm] f_{1}=sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)=0
[/mm]
und
[mm] f_{2}=cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)=0
[/mm]
Erste Feststellung ist natürlich, dass es gilt, sofern x,y=0.
Nun, die erste Gleichung kann ja nur 0 sein, sofern
[mm] x^{2}-y^{2}=n*\pi
[/mm]
Aus der zweiten Gleichung folgt ja unmittelbar, dass x oder y = 0 sein muss, da sinh(xy) nur im Ursprung eine Nullstelle hat.
Daraus folgt doch dann eigentlich, dass x ODER y = [mm] \wurzel{n*pi} [/mm] sein kann, und die jeweils andere Variable ist null.
Denn [mm] sin(x^{2}-y^{2}) [/mm] und [mm] cos(x^{2}-y^{2}) [/mm] ist, würde ich es als Gleichungssystem lösen wollen, nur mit x,y=0 lösbar.
So besser ?
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> und nochmal hallo ;)
>
> ich habe nun die Bedingungen
> [mm]f_{1}=sin(x^{2}-y^{2})*cosh(xy)=0[/mm]
> und
> [mm]f_{2}=cos(x^{2}-y^{2})*sinh(xy)=0[/mm]
>
> Erste Feststellung ist natürlich, dass es gilt, sofern
> x,y=0.
> Nun, die erste Gleichung kann ja nur 0 sein, sofern
> [mm]x^{2}-y^{2}=n*\pi[/mm]
> Aus der zweiten Gleichung folgt ja unmittelbar, dass x
> oder y = 0 sein muss, da sinh(xy) nur im Ursprung eine
> Nullstelle hat.
> Daraus folgt doch dann eigentlich, dass x ODER y =
> [mm]\wurzel{n*pi}[/mm] sein kann, und die jeweils andere Variable
> ist null.
Hier mußt Du genauer unterscheiden:
Aus x=0 folgt [mm]-y^{2}=n*\pi[/mm].
Dies nur lösbar, wenn [mm]n \le 0[/mm].
Dann ergibt sich die Lösungsmenge zu:
[mm]L_{1}=\left\{\ \left(x,y\right) \in \IR^{2} \ \left|\right x=0 \wedge \left( y=+\wurzel{-n*\pi} \vee y=-\wurzel{-n*\pi}\right), \ n\in\IZ^{-}_{0} \ \right\}[/mm]
Nun ist noch der Fall y=0 zu untersuchen.
> Denn [mm]sin(x^{2}-y^{2})[/mm] und [mm]cos(x^{2}-y^{2})[/mm] ist, würde ich
> es als Gleichungssystem lösen wollen, nur mit x,y=0
> lösbar.
Entweder kann nur [mm]\sin\left(x^{2}-y^{2}\right)[/mm] oder [mm]\cos\left(x^{2}-y^{2}\right)[/mm] gleich Null sein.
> So besser ?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß Sierra
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Di 26.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hey
> Nun ist noch der Fall y=0 zu untersuchen.
ist geschehen ;)
Ein ganz dickes Dankeschön für deine Mühe !
Gruß Sierra
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