Invertierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die folgende Aussage: Sind A und B zwei n x n Matrizen und ist AB invertierbar, so sind auch A und B invertierbar. |
Hallo,
ich hätte einen Vorschlag für diese Aufgabe:
Da AB invertierbar ist, gilt
[mm] (AB)(B^{-1}A^{_1}) [/mm] = [mm] A(BB^{1} [/mm] = [mm] AEA^{-1} [/mm] = [mm] AA^{-1}
[/mm]
analog gilt für
[mm] (B^{-1}A^{_1})(AB) [/mm] = [mm] B^{-1}B
[/mm]
Da [mm] (AB)(B^{-1}A^{_1}) [/mm] = [mm] (B^{-1}A^{_1})(AB) [/mm] aufgrund der Tatsache gilt, dass n x n Matrizen vorliegen, folgt
[mm] AA^{-1} [/mm] = [mm] B^{-1}B [/mm] daraus.
A und B sind invertierbar.
Ich vermute stark, dass dies kein Beweis ist, wollte es aber trotzdem bestätigt kriegen.
Alternativ vermute ich, dass ich mich auf Satz 6.6 beziehen muss, um diese Aufgabe zu lösen:
Satz 6.6:
Für eine n x n Matrix A sind folgende Aussagen äquivalent:
a) A ist invertierbar
b) Das GLS [mm] A*\vector{x}=\vector{0} [/mm] hat nur die triviale Lösung
c) A lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen E schreiben.
Geht ersteres, oder muss ich mithilfe von Satz 6.6 diese aussage zeigen?
mfg,
zjay
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> Beweisen Sie die folgende Aussage: Sind A und B zwei n x n
> Matrizen und ist AB invertierbar, so sind auch A und B
> invertierbar.
>
> Hallo,
>
> ich hätte einen Vorschlag für diese Aufgabe:
>
> Da AB invertierbar ist, gilt
>
E=
> [mm](AB)(B^{-1}A^{-1})[/mm]
Hallo,
Du benutzt hier, daß das Inverse von AB, in Zeichen: [mm] (AB)^{-1}, [/mm] gleich der Matrix [mm] B^{-1}A^{-1} [/mm] ist. Das stimmt ja auch - bloß verwendest Du hierbei bereits, daß A und B beide invertierbar sind.
Am schnellsten hast Du den Beweis durch Nachdenken über det(AB).
LG Angela
= [mm]A(BB^{1}[/mm] = [mm]AEA^{-1}[/mm] = [mm]AA^{-1}[/mm]
>
> analog gilt für
>
> [mm](B^{-1}A^{_1})(AB)[/mm] = [mm]B^{-1}B[/mm]
>
> Da [mm](AB)(B^{-1}A^{_1})[/mm] = [mm](B^{-1}A^{_1})(AB)[/mm] aufgrund der
> Tatsache gilt, dass n x n Matrizen vorliegen, folgt
>
> [mm]AA^{-1}[/mm] = [mm]B^{-1}B[/mm] daraus.
>
> A und B sind invertierbar.
>
> Ich vermute stark, dass dies kein Beweis ist, wollte es
> aber trotzdem bestätigt kriegen.
>
> Alternativ vermute ich, dass ich mich auf Satz 6.6 beziehen
> muss, um diese Aufgabe zu lösen:
>
> Satz 6.6:
>
> Für eine n x n Matrix A sind folgende Aussagen
> äquivalent:
>
> a) A ist invertierbar
> b) Das GLS [mm]A*\vector{x}=\vector{0}[/mm] hat nur die triviale
> Lösung
> c) A lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen E
> schreiben.
>
> Geht ersteres, oder muss ich mithilfe von Satz 6.6 diese
> aussage zeigen?
>
> mfg,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Die det haben wir leider noch nicht gehabt, weswegen wir sie auch noch nicht benutzen dürfen. Kann ich dem mit dem geposteten Satz etwas anfangen oder wie kann ich das versuchen zu beweisen ohne ihre Invertierbarkeit vorauszusetzen?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Dir ist sicher bekannt, dass für eine quadratische Matrix C gilt:
C ist invertierbar [mm] \gdw [/mm] (aus Cx=0 folgt x=0).
Sei also AB inv.
Sei Bx=0. Dann ist (AB)x=0. Da AB inv. ist, folgt x=0.
Damit ist B inv.
Sei Ax=0. Setze [mm] y:=B^{-1}x
[/mm]
Dann ist 0=Ax=ABy
Jetzt mach Du weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Freds Ansatz bezieht sich doch schon auf Satz 6.6, da aus der Invertierbarkeit einer Matrix A das GLS [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] folgt. Das GLS wollte ich jetzt nicht unbedingt lösen, wenn das nicht zwingend erforderlich ist, aber damit argumentieren.
Wofür benötigen wir hier das y? Kann man nicht in selber Couleur weitermachen und sagen:
Sei [mm] A\vec{x}=\vec{0}. [/mm] Da AB invertierbar ist, fogt [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm] Damit ist auch A invertierbar. Damit ist doch in Abhängigkeit von "AB sei invertierbar" sowohl A, als auch B invertierbar, oder habe ich da etwas missverstanden?
Wenn ich das mit deinem y versuche, bin ich mir erstmal nicht sicher, wie ich weitermachen soll, da ich die Funktion des y noch nicht verstanden habe:
aber hier ein Ansatz
y := [mm] B^{-1}x
[/mm]
Dann ist 0 = Ax = ABy
Dann ist [mm] (AB)\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm] Da (AB) invertierbar ist, folgt [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] .... keine Ahnung wie es weitergehen soll.
mfg,
zjay.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Freds Ansatz bezieht sich doch schon auf Satz 6.6, da aus
> der Invertierbarkeit einer Matrix A das GLS [mm]A\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm] folgt. Das GLS wollte ich jetzt nicht unbedingt
> lösen, wenn das nicht zwingend erforderlich ist, aber
> damit argumentieren.
>
> Wofür benötigen wir hier das y? Kann man nicht in selber
> Couleur weitermachen und sagen:
>
> Sei [mm]A\vec{x}=\vec{0}.[/mm] Da AB invertierbar ist, fogt [mm]\vec{x}[/mm]
> = [mm]\vec{0}.[/mm]
Wieso ????
> Damit ist auch A invertierbar. Damit ist doch in
> Abhängigkeit von "AB sei invertierbar" sowohl A, als auch
> B invertierbar, oder habe ich da etwas missverstanden?
>
>
> Wenn ich das mit deinem y versuche, bin ich mir erstmal
> nicht sicher, wie ich weitermachen soll, da ich die
> Funktion des y noch nicht verstanden habe:
>
> aber hier ein Ansatz
>
> y := [mm]B^{-1}x[/mm]
>
> Dann ist 0 = Ax = ABy
>
> Dann ist [mm](AB)\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{0}.[/mm] Da (AB) invertierbar ist,
> folgt [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
Genau.
> .... keine Ahnung wie es
> weitergehen soll.
Wegen x=By und y=0 , folgt x=0.
FRED
>
> mfg,
>
> zjay.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Gut, danke. Ich habs verstanden.
mfg zjay
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Lamia |
Satz 6.6 liefert die Basis für einen Beweis.
Mein Ansatz:
Zu zeigen: A ist invertierbar. [mm] \gdw [/mm] Die Gleichung Ax=0 hat genau die Lösung x=0.
Mit Gauß-Algorithmus lässt sich A in ZStF bringen. Auch dann gibt es nur die Lsg 0. D.h. ZStF A' von A hat die Gestalt: $n=r$ (keine Parameter). [mm] \\
[/mm]
Wir nehmen an, dass A' nicht von dieser Gestalt sei, dann ist sie von der Gestalt...
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