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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:05 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Cauchy123 |
Hallo,
ich habe folgende Frage:
Nehmen wir an, A ist eine Matrix, die in ihren Komponenten eine Variable x enthält. Wenn wir annehmen, dass A für irgend ein x invertierbar ist, können wir daraus folgern, dass A für jede reelle Zahl $ [mm] x\not=0 [/mm] $ invertierbar ist?
Grüße
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe folgende Frage:
>
> Nehmen wir an, A ist eine Matrix, die in ihren Komponenten
> eine Variable x enthält.
Wie genau meinst du das? In irgendeiner Komponente?
> Wenn wir annehmen, dass A für
> irgend ein x invertierbar ist, können wir daraus folgern,
> dass A für jede reelle Zahl [mm]x\not=0[/mm] invertierbar ist?
Nein. Denn das hängt ja noch entscheidend davon ab, wie diese Variable vorkommt. Wieso sollte die Determinante für alle [mm] x\ne{0} [/mm] generell ebenfalls ungleich Null sein?
PS: Ist heute der Tag der diffusen Frage oder irgendetwas in der Art? 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Cauchy123 |
Hallo Diophant,
Die Unbekannte Variable x ist in jeder Komponente der Matrix enthalten. In meinem Fall ist jede ij-Komponente von der Form a(ij)x+b(ij), mit reellen Zahlen a(ij) und b(ij).
"Nein. Denn das hängt ja noch entscheidend davon ab, wie diese Variable vorkommt. Wieso sollte die Determinante für alle $ [mm] x\ne{0} [/mm] $ generell ebenfalls ungleich Null sein?"
ja, wahrscheinlich ist das auch so. Dann möchte ich meine Frage durch folgende Behauptung ergänzen: die Menge der reellen Zahlen x, für die A nicht invertierbar ist, hat das Lebesgue-Maß 0. Würdest du dieser Aussage zustimmen?
Grüße.
ps: danke für den Hinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 So 01.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant,
>
> Die Unbekannte Variable x ist in jeder Komponente der
> Matrix enthalten. In meinem Fall ist jede ij-Komponente von
> der Form a(ij)x+b(ij), mit reellen Zahlen a(ij) und b(ij).
Dann hat die Matrix die Form
A(x) =xA+B mit A=(a(ij) ) und B=(b(ij)) (A,B feste Matrizen, x [mm] \in \IR)
[/mm]
>
> "Nein. Denn das hängt ja noch entscheidend davon ab, wie
> diese Variable vorkommt. Wieso sollte die Determinante für
> alle [mm]x\ne{0}[/mm] generell ebenfalls ungleich Null sein?"
>
> ja, wahrscheinlich ist das auch so. Dann möchte ich meine
> Frage durch folgende Behauptung ergänzen: die Menge der
> reellen Zahlen x, für die A nicht invertierbar ist,
.... besser A(x)....
> hat
> das Lebesgue-Maß 0. Würdest du dieser Aussage zustimmen?
Ja:
Sei also A(x) =xA+B für ein x [mm] \ne [/mm] 0 invertierbar. Ohne Einschränkung sei A(1)=A+B invertierbar.
Sei C:=A+B. Rechne nach, dass für x [mm] \ne [/mm] 1 gilt:
[mm] A(x)=(x-1)(AC^{-1}- \bruch{1}{1-x}E)C.
[/mm]
Man sieht:
A(x) ist invertierbar [mm] \gdw \bruch{1}{1-x} [/mm] ist kein Eigenwert von [mm] AC^{-1}.
[/mm]
A(x) ist also für höchstens endlich viele x nicht invertierbar
FRED
>
> Grüße.
>
> ps: danke für den Hinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 So 01.09.2013 | | Autor: | Cauchy123 |
fred97, vielen lieben Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Cauchy123,
bitte stelle jede Frage nur einmal. Und das hast du hier doch schon gefragt.
Gruß, Diophant
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